Cómo comprobar que es un subespacio
Podrías ayudarme a hacer este ejercicio necesito saber si es un subespacio o no. Gracias.
$$\begin{align}&S_1+S_2 = \big \{ \boldsymbol{\alpha} =\boldsymbol{\alpha}_1+ \boldsymbol{\alpha}_2; \boldsymbol{\alpha}_1 ∈ S_1, \boldsymbol{\alpha}_2 ∈ S_2\big \}\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Daniel!
Hay que usar el teorema de caracterización de subespacios. No lo dices pero se supone que S1 y S2 son dos subespacios de un espacio vectorial V, por eso está definida su suma que es la de ese espacio vectorial. Por tanto S1+S2 es de momento un subconjunto de V, para ver si es subespacio debe verificarse
$$\begin{align}&a\,\alpha + b\,\beta \in S_1+S_2\quad \;\forall \;a,b \in K, \;\;\alpha, \beta\in S_1\\&\\&\alpha= \alpha_1+ \alpha_2;\quad \alpha_1 \in S_1, \alpha_2\in S_2\\&\beta= \beta_1+ \beta_2;\quad \beta_1 \in S_1, \beta_2\in S_2\\&\\&a\alpha + b\beta= a( \alpha_1+ \alpha_2)+b( \beta_1+ \beta_2)=\\&\\&(a\alpha_1+b\beta_1) + (a\alpha_2+b\beta_2)\in S_1+S_2\\&\\&\text{Ya que por ser} S_1 \text{ subespacio toda combinación lineal}\\&\text{de sus elementos es de } S_1, \text{lo mismo con }S_2\\&\\&\text{Luego }S_1+S_2 \text{ es subespacio vectorial.}\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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