Resolución determinantes 4 por 4, para determinar valor de una incógnita
Resolver el siguiente determinante, sabiendo que es igual a cero.
Las filas son:
x 1 0 0
0 x 1 0
0 0 x 1
1 0 0 x
Determinar los posibles valores de x
2 Respuestas
Esta página es muy mala para escribir matrices, pero veamos que conseguimos...
Desarrollando por la primer fila, tenemos que
$$\begin{pmatrix}
x & 1 & 0\\
0 & x & 1\\
0 & 0 & x
\end{pmatrix}$$Expando los dos determinantes por la primer fila, llegando a
$$\begin{pmatrix}
x & 1\\
0 & x
\end{pmatrix}$$Desarrollando eso, tenemos:
$$\begin{align}&x(x(x^2-0)) - 1(1(1-0)) = x^4 - 1\end{align}$$nos dicen que tiene que ser cero, por lo tanto tenemos que
x^4 - 1 = 0
x^4 = 1
Si estás viendo números reales, las soluciones son x = 1 ó x = -1, pero si estás viendo números complejos, entonces tenés 4 soluciones que son las anteriores más x= i ó x = -i
Salu2
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¡Hola Juana!
Qué raro lo han hecho que no se simplifica de formas sencillas.
Tomare la cuarta fila, la multiplicaré por -x y la sumaré a la cuarta
0 1 0 -x^2
0 x 1 0
0 0 x 1
1 0 0 x
Ahora ya lo podemos desarrollar por la primera columna y el determinante es el de las tres derecha arriba cambiado de signo. Pero como hay que igualarlo a 0 lo del signo no importa
|1 0 -x^2|
|x 1 0 | = 0
|0 x 1 |
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1 + 0 - x^4 - 0 - 0- 0 = 0
x^4 = 1
Las raíces cuartas de la unidad son:
1, i, -1, -i
Y eso es todo, saludos.
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Se multiplica por -x la cuarta y se suma a la primera fila no.?
Sí, eso es.