Determinar las siguientes cotas inferior y superior

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¡Hola Elkin!

Estamos haciendo un solo ejercicio de estos por pregunta, haré el primero.

Vamos a ver cuando la sucesión es creciente o decreciente.

$$\begin{align}&a_{n+1}-a_n= \frac{(n+1)+2}{2(n+1)-1}- \frac{n+2}{2n-1}=\\&\\&\frac{n+3}{2n+1}- \frac{n+2}{2n-1}= \\&\\&\frac{(n+3)(2n-1)-(n+2)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=\\&\\&\frac{2n^2-n+6n-3-2n^2-n-4n-2}{4n^2-1}=\\&\\&\frac{-5}{4n^2-1}\lt 0\\&\\&\text{Ya que numerador siempre negativo y denominador siempre positivo}\\&\\&\text{luego}\\&\\&a_{n+1}-a_n \lt 0\\&\\&a_{n+1} < a_n  \quad \\&\\&\text{Siempre decreciente, luego la cota superior es el primer término}\\&\\&CS= \frac{1+2}{2·1-1}= 3\\&\\&\text{Y la inferior es el límite en el infinito}\\&\\&CI= \lim_{n\to \infty} \frac{n+2}{2n-1}= \frac 12\end{align}$$

Y eso es todo, si puedes hacer los otros con el ejemplo hazlos, y si no manda cada ejercicio en una pregunta.  Antes, no olvides valorar con Excelente.

Saludos.

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Te ayudo con el 2°, pero la lógica a utilizar es la que ya te explicó el profe Valero!

$$\begin{align}&a_{n+1}-a_n = \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\\&\frac{(n+1)^2-n(n+2) }{(n+2)(n+1)}= \frac{n^2+2n+1-n^2-2n }{(n+2)(n+1)}= \\&\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0 \text{(pues tanto numerador como denominador son siempre positivos)}\\&\text{Por lo tanto}\\&a_{n+1}-a_n > 0 \to a_{n+1}>a_n\\&\text{Es una suceción creciente, por lo tanto la cota inferior será el primer término y la superior el límite en el infinito}\\&CI = a_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\\&CS = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}= 1\end{align}$$

Y eso es todo, espera que otro experto te colabore con los otros o envíalos en otra pregunta. No olvides votar por todos los expertos.

Salu2