¿Cómo resolver este ejercicio usando integrales?

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Hola Daniel Go!

La pendiente de las rectas tangentes es la función derivada.

Luego si conocemos la derivada (3 sqrt x) y queremos la función (antiderivada) tenemos que hacer su integral:

$$\begin{align}&y'=3 \sqrt x \Rightarrow y=\int 3 \sqrt x \ dx\\&\\&o \con \ la \ notación \ de \ Leibniz:\\&\\&\frac{df(x)}{dx} =3 \sqrt x\\&\\&df(x)= 3 \sqrt x \ dx\\&\\&\int df(x)=3 \int \sqrt x \ dx\\&\\&f(x)=3 \frac{x^{1+ \frac{1}{2}}}{1+\frac{1}{2}}+C\\&\\&f(x)=3 \frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C\\&\\&f(x)=2 x^\frac{3}{2}+C\\&\\&(9,4) \Rightarrow f(9)=4\\&\\&2·9^\frac{3}{2}+C=4\\&\\&54+C=4\\&\\&C=-50\\&\\&f(x)=2 x^\frac{3}{2}-50\\&\\&f(x)=2 \sqrt{x^3} -50\end{align}$$

Saludos

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¡Hola Daniel!

La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada en ese punto. Luego lo que nos dan es la función derivada de la curva, para obtener la función de la curva tenemos que integrar la derivada

$$\begin{align}&f(x)= \int 3 \sqrt x\;dx= 3\int x^{\frac 12}dx= 3· \frac{x^{\frac 32}}{\frac 32}+C = 2x^{\frac 32}+C\\&\\&\text{Como pasa por el punto (9,4)}\\&\\&4 = 2·9^{\frac 32}+C\\&\\&4 = 2·729^{\frac 12} + C = 2·27+C = 54 +C\\&\\&C = 4-54 = -50\\&\\&\text{Luego la curva es}\\&\\&f(x) = 2 x^{\frac 32}-50\\&\\&\text{O de otra forma}\\&\\&f(x) = 2 \sqrt{x^3}-50\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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