Algoritmo de la división y MCD
1. Demuestre que 3a2-1 nunca es cuadrado perfecto.
2. Para cualquier entero k, muestre que mcd (2k+1, 9k+14)=1
3. Si mcd (a,b)=1 entonces mcd (a2, b2)=1
1 respuesta
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¡Hola Julio Cesar!
No sé si habrás estudiado congruencias numéricas, con ello se simplificaría bastante la demostración, pero lo haré sin ellas.
Sea n un número natural. Por el algoritmo de la división podemos ponerlo como
n = 3m + r
con r = 0, 1 ó 2
Entonces n^2 = (3m+r)^2 = 9m^2 + 6mr + r^2 = 3(3m^2 + 2mr) + r^2
Luego un cuadrado será un múltiplo de 3 más r^2
r^2 puede ser
0^2 = 0
1^2 = 1
2^2 = 4
Es este tercer caso podemos mandar 3 a la parte donde teníamos el múltiplo de 3 y dejar aquí 1
Resumiendo, un cuadrado es un múltiplo de 3 o un múltiplo de 3 más 1
Pero el número que nos dan en el enunciado es un múltiplo de 3 menos 1,
Y un múltiplo de 3 menos 1 es lo mismo que un múltiplo de 3 más 2.
Luego 3a^2 -1 no puede ser un cuadrado perfecto.
Y eso es todo, hay que mandar un solo ejercicio por pregunta. Si quieres los otros mándalos en sendas preguntas y los contestaré dentro de varias horas porque ahora tengo que dejar el ordenador. No olvides valorar esta respuesta con Excelente para poder recibir nuevas respuestas. Y si no entendiste algo puedes preguntar.
Saludos.
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