Realiza las siguientes operaciones con numeros conplejos, expresandolos previamente en forma trigonometrica
A) (sqrt(3) +i)^60
B) (4-4i)^-11
C)((1-sqrt(3) i)^12)/((-2-2i)^8)
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Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola Miriam!
A)
$$\begin{align}&\sqrt 3 +i=2(cos30º+isen30º)=2_{30º}\\&\\&r=\sqrt{ \sqrt 3^2+1}=2\\&\\&tan \theta=\frac{1}{\sqrt 3} \rightarrow \theta=30º\\&\\&\Big(2_{30º} \Big)^{60}=\Big(2^{60} \Big)_{30·60}=\Big(2^{60}\Big)_{1800}=\Big(2^{60}\Big)_{0º}=2^{60}\end{align}$$B)
$$\begin{align}&4-4i\\&\\&r=\sqrt {32}=4 \sqrt{2}\\&\\&tan \theta=-1 \rightarrow \theta=-45º=315º\\&\\&4-4i=4 \sqrt 2(cos315º+isen 315º)=(4 \sqrt 2)_{315º}\\&\\&\Bigg[(4 \sqrt 2)_{315º} \Bigg]^{-11}=\frac{1_0º}{\Bigg[(4 \sqrt 2)_{315º} \Bigg]^{11}}=\frac{1_0º}{\Big(2^{22} \sqrt 2^{11}\Big)_{3465º}}=\\&\\&\frac{1_{0º}}{\Big(2^{27} \sqrt 2\Big)_{225º}}=\Bigg( \frac{1}{2^{\frac{55}{2}}} \Bigg)_{0º-225º}=\Big(2^{- \frac{55}{2}} \Big)_{135º}\end{align}$$;)
;)
C)
$$\begin{align}&\frac{(1- \sqrt 3 i)^{12}}{(-2-2i)^8}=\frac{{ \Big[2(cos300º+isen300º) \Big]^{12}}} {\Big [2 \sqrt 2(\cos 225º+isen 225º)^8\Big]}\\&\\&=2^{12-8-4} \Big(\cos(300·12-8·225º)+i sen(300·12-8·225º) \Big)=\\&\\&=2^0(cos1800º+isen 1800º)=1(cos0º+isen0º)=1\end{align}$$saludos
;)
;)
Respuesta
1
Veamos (y esperemos que esos valores definan ángulos "lindos")
$$\begin{align}&A) (\sqrt{3}+i)^{60}\\&|z| = \sqrt{\sqrt{3}^2+1^2} = 2\\&arg(z) = arctg(\frac{1}{\sqrt{3}})= 30°\\&z = 2_{30°}\\&|z^{60}| = |z|^{60} = 2^{60}\\&arg(z^{60}) = 60 \cdot arg(z) = 60\cdot 30° = 1800° \text{ ...hay que llevarlo a un angúlo entre }[0, 360°)\\&\frac{1800}{360} = 5 \text{ (o sea que da 5 vueltas exactas y el resto es 0, así que el ángulo en cuestión es 0°)}\\&z^{60}= 2^{60}_{0°}\\&\text{Este caso particular lo voy a escribir también en forma polinómica, sabemos que}\\&2^{60}_{0°}=2^{60}(\cos(0°) + i sen(0°)) = 2^{60}(1 + i \cdot 0) =2^{60} \text{ (el resultado es un Real)} \\&---\text{Ahora voy a ir más rápido con los otros}---\\&B) (4-4i)^{-11}\\&|z| = \sqrt{4^2+(-4)^2} = \sqrt{32}\\&arg(z) = arctg(\frac{-4}{4})= -45° = 315°\\&z = \sqrt{32}_{315°}\\&|z^{-11}| = |z|^{-11} = (\sqrt{32})^{-11} = 2^{-55/2}\\&arg(z^{-11}) = -11 \cdot arg(z) = -11 \cdot 315° = -3465° \text{ ...hay que llevarlo a un angúlo entre }[0, 360°) = 135°\\&z^{-11}= 2^{-55/2}_{135°}\\&---\\&C) \frac{(1-\sqrt{3} i)^{12}}{(-2-2i)^8} = \frac{z^{12}}{w^{8}}\\&|z| = \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} = 2\\&arg(z) = arctg(\frac{-\sqrt{3}}{1})= -60° = 300°\\&z = \sqrt{2}_{300°}\\&|z^{12}| = |z|^{12} = 2^{12} = 4096\\&arg(z^{12}) = 12 \cdot arg(z) = 12 \cdot 300° = 3600° = 0° (en\ [0°, 360°))\\&\text{Como ya vimos, en el caso A), si el ángulo es 0°, se trata de un real, }z^{12} \\&|w| = \sqrt{(-2)^2+(-2)^2} = \sqrt{8}=2^3\\&arg(w) = arctg(\frac{-2}{-2})= 45°\\&w = 2^3_{45°}\\&|w^{8}| = |w|^{8} = (2^3)^{8} = 2^{24}\\&arg(w^{8}) = 8 \cdot arg(w) = 8 \cdot 45° = 360° =0°\\&w^{8}= 2^{24}_{0°} = 2^{24}\\&\frac{z^{12}}{w^{8}} = \frac{2^{12}}{2^{24}}=2^{-12}\end{align}$$Salu2