Encuentra un tercer punto de la forma (0, y, 0) tal que forme un triángulo equilátero

Para que el triángulo sea equilatero, debe tener todos los lados iguales, para esto veamos primero la distancia que hay entre los dos puntos conocidos

$$\begin{align}&d[(1,-3,7),(5,7,-5)] = \sqrt{(5-1)^2+(7--3)^2+(-5-7)^2}=\sqrt{260}\\&\text{Ahora planteamos las otras igualdades}\\&d[(1,-3,-7),(0,y,0)] = \sqrt{(0-1)^2+(y--3)^2+(0--7)^2}=\sqrt{y^2+6y+59}\\&d[(5,7,-5),(0,y,0)] = \sqrt{(0-5)^2+(y-7)^2+(0--5)^2}=\sqrt{y^2-14y+99}\\&\text{Por ser equilatero, debe valer que}\\&\sqrt{260}=\sqrt{y^2+6y+59}=\sqrt{y^2-14y+99}\\&De\ 1\ y\ 2\\&\sqrt{260}=\sqrt{y^2+6y+59} \to 260=y^2+6y+59\\&0=y^2+6y-201\\&y_1=11.491 \land y_2 = -17.491 \text{ (Condición A)}\\&De\ 1 \ y\ 3\\&\sqrt{260}=\sqrt{y^2-14y+99} \to 260=y^2-14y+99\\&0 =y^2-14y-161\\&y_1=21.491 \land y_2 = -7.491 \text{ (Condición B)}\end{align}$$

Como ningún valor de la Condición A, coincide con la Condición B, entonces no existe ningún valor de y que haga que el punto en cuestión sea equilatero

Salu2

Espera un poco, lo que he calculado es el punto que está a igual distancia, esto nos garantiza un triángulo isósceles, pero debemos comprobar si es equilátero que no lo he hecho

La distancia del punto hallado a los otros dos es

$$\begin{align}&d[(0,2,0),\;(1,-3,7)]=\sqrt{1^2+(-5)^2+7^2}=\sqrt{75}\\&\\&\text{No haria falta pero comprobamos al otro}\\&\\&d[(0,2,0),\;(5,7,-5)]=\sqrt{5^2+5^2+(-5)^2}=\sqrt{75}\\&\\&\text{Y el otro lado mide}\\&\\&d[(1,-3,7)(5,7,-5)]=\sqrt{4^2+10^2+(-12)^2}= \sqrt{260}\\&\end{align}$$

Que es una distancia distinta, luego no hay respuesta.  Perdona que no hice bien al principio.

Debes valorar la respuesta de Gustavo que estaba bien desde el principio.

Sa lu dos.

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