Desarrollo para la resolución de cada punto con sus gráficas correspondientes, para la recta secante y la tangente.

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¡Hola Anoni mo!

El enunciado es muy largo y muy poco claro y erróneo me parece. Pero lo primero está claro, es hallar la pendiente de la recta secante, para lo cual hay que terminar la cuenta que dejan a medias:

$$\begin{align}&m= \frac{f(12)-f(10)}{12-10}=\frac{2·12^2+3·12-(2·10^2+3·10)}{2}=\\&\\&\frac{2·144 +36-(2·100+30)}{2}=\frac{288+36-(200+30)}{2}=\\&\\&\frac{324-230}{2}=\frac{94}{2}=47\end{align}$$

Luego se ponen a hablar de la secante en x=1, pero una secante pasa por dos puntos al menos, si no nos dicen el otro no se puede determinar la secante.  Luego deduzco que lo que quieren decir realmente es la tangente en x=1

La fórmula de la tangente es esta:

$$\begin{align}&y - y_1 = f'(x_1)·(x - x_1)\\&\\&\text{conocemos }x_1=1\text{, nos falta calcular }y_1,\; f'(x_1)\\&\\&y_1= 2·1^2+3·1=2+3=5\\&\\&f'(x)= 4x+3\\&\\&f'(1)= 4·1 + 3 = 7\\&\\&\text{Luego la recta tangente es}\\&\\&y - 5 = 7(x-1)\\&\\&y -5 = 7x -7\\&\\&y = 7x -2\\&\end{align}$$

Y ahora es cuando viene libre interpretación.   ¿Pedían la gráfica de la secante?  ¿O solo la de la tangente en x=1?  Es muy complicado entender lo que quieren y si piden poco parece que faltan cosas.

Si te dicen que en x tomes de -2 a 2 no vas a poder dibujar la secante que va de 10 a 12.

Bueno, la tabla de -2 a 2 de la función es esta:

-2 ---> 2(-2)^2 + 3(-2) = 8 - 6= 2

-1 ---> 2(-1)^2 + 3(-1) = 2 - 3 = -1

0  ---> 2·0^2 + 3·0 = 0+0 = 0 

1 ----> 2·1^2 + 3·1 = 2+3 = 5

2 ---> 2·2^2 + 3·2 = 8 + 6 = 14

En forma resumida, son los puntos:

(-2, 2),  (-1, -1),  (0,0),  (1,5),  (2,14)

Para dibujar la tangente ya calculamos hemos calculado que el punto de tangencia es (1,5)

Calculamos otro dando valor 0 a x

0  ---> 7·0 - 2 = -2

Es el punto (0,2) para una recta no hace falta más tabla, con dos puntos ya vale.

Y la gráfica la haré con Geogebra, con Excel se hace muy mal.

Esta es la auténtica gráfica, lo digo porque a lo mejor te vienen otros con una más ancha y más bonita, pero será falsa.

Y eso es todo, si hay que hacer algo más me lo dices. Pero no creo ya que si hubiera que hacer la gráfica de la secante sería imposible así y habría que hacer una gráfica donde el eje X fuera 10 veces más grande que el eje Y.

Sa lu dos.

A sugerencia de un usuario os dejo el enlace al fichero de la gráfica en GeoGebra, así podréis retocar lo para que no se vean todos iguales. También podréis hacer lo que dice el enunciado de que la altura sea desde -2 a 10, yo no lo hice porque entonces no cabía el valor de la función en x=2 y pensé que era un error del que hizo el ejercicio: Grafica en Geogebra

Y eso es todo de momento.

Y si acaso pongo la gráfica con los límites que dicen: x en [-2 y 2], y en [-2, 10]

Aunque está confuso lo que piden voy a dibujar la secante que pasa por x=10 y x=12, no es lo que piden pero como digo, es todo tan confuso que a lo mejor vale.

El valor de la función es tan alto que deben distorsionarse los ejes para que podamos verlo bien. El eje Y se ha hecho 50 veces más pequeño de lo que es, las pendientes serán 50 veces mas pequeñas. Observa por ejemplo el punto (10,10) que estaría en diagonal de 45º, fíjate donde está ahora. Esos rectángulos tan alargados tendrían que ser cuadrados

Para calcular la recta secante podemos hacerlo de varias formas, ya que le hemos calculado la pendiente (m) lo mas sencillo es:

y - y(10) = m(x-10)

y - (2·10^2 + 3·10) = 47(x-10)

y - 230 = 47x - 470

y = 47x - 240

Y hago que en la gráfica salga el valor de la secante en x=1 del que tanto hablan es el punto (1, -193)

Y el fichero de Geogebra con esta gráfica esta en: Secante del jitomate

Espero que os sirva.

Sa lu dos.

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Decía que el eje Y era 50 veces más pequeño, no es verdad, es 40 veces más pequeño, eso es algo sin importancia pero no quería que quedara un dato falso.

Ya lo he comentado con un usuario que sugirió que podría ser en x=10 donde piden la tangente y me pareció buena idea.

Entonces voy a proponer yo lo que sería un ejercicio bien planteado y didáctico.

1) Determina la pendiente de la secante a la función f(x)=2x^2+3x que pasa por los puntos x=10 y x=12. (Adicionalmente se podría pedir calcular la ecuación de esta secante)

2) Determina la recta tangente a la función en x=10 a través de la derivada.

3) Haz una gráfica de la función, la secante y la tangente que has calculado. Naturalmente habrá que olvidarse de los límites que han dicho y elegir los adecuados, bien sea para que se vea bastante parte de la función entre 0 y 12 o solo la que hay entre x=10 y x=12.

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1) El cálculo de la pendiente de la secante es lo que ya se hizo:

$$\begin{align}&m= \frac{f(12)-f(10)}{12-10}=\frac{2·12^2+3·12-(2·10^2+3·10)}{2}=\\&\\&\frac{2·144 +36-(2·100+30)}{2}=\frac{288+36-(200+30)}{2}=\\&\\&\frac{324-230}{2}=\frac{94}{2}=47\end{align}$$

Para el cálculo de la ecuación de la recta se usará la formula que permite dar la ecuación de una recta conocido un punto (xo, yo) y la pendiente m.

y = yo + m(x-xo)

El punto (xo, yo) = (10, f(10)) = (10, 2·10^2+3·10) = (10, 230)

La pendiente m=47

luego la ecuación es 

y = 230 + 47(x-10)

y = 230 + 47x - 470

y = 47x -240

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2)

La pendiente de la recta tangente es la derivada de la función en el punto

f(x) = 2x^2 + 3x

f'(x) = 4x + 3

f'(10) = 4·10 + 3 = 43

Luego

m=43

Aplicando la misma fórmula de antes para calcular la ecuación de una recta conocido un punto y la pendiente tenemos

y = 230 + 43(x-10)

y = 230 + 43x - 430

y = 43x - 200

Como vemos la secante y tangente no son iguales, una tiene pendiente 47 y la otra 43 pero tampoco son tan distintas

3)

Solo consiste en añadir a la última gráfica que hice la recta tangente.

Y este es el enlace de está gráfica de Geogebra: Mi interpretación de una gráfica útil

Y ese es el ejercicio que habría puesto yo, donde se ve que la tangente tiene un valor aproximado a la función en las cercanías de 10 y para eso se usan las derivadas.

Sa lu dos.