Transformaciones algebraicas para resolver problemas
En tiempos de la vieja Rusia, se cuenta que dos mercaderes vendieron una partida de toros, recibiendo por cada animal tantos rublos como toros había en la partida. Con el dinero recibido compraron un rebaño de ovejas, pagando 10 rubros por cada oveja, y un corderito. Al partirse el rebaño en dos mitades, uno recibió un oveja más, y el otro el corderito. Sin embargo, esto provoco una fuerte disputa entre ellos, que se arregló compensando al dueño el corderito con un rublo. La pregunta es: ¿Fue suficiente esta compensación para que el reparto fuera equitativo?
2 Respuestas
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¡Hola Ignacio!
Vaya problema más enrevesado y que pocos datos nos dan.
Sea m el número de toros, como cada toro vale m el dinero fue
m^2
Sea n el número de ovejas y sea c el precio del corderito, tendremos:
10n + c = m^2
Como uno recibió una oveja más era un número impar de ovejas, se puede escribir como
n=2r+1
10(2r+1) + c = m^2
20r + 10 + c = m^2
El que recibio una oveja más recibió
10r + 10
El que reciobo el cordero
10r + c
La compensación fue de un rublo al del cordero, con lo cual el reaprto quedó en
10r + 9
10r + c +1
Para que quedasen igual el precio del cordero tuvo que ser
c=8
Siempre que esto no contradiga otras igualdades, el reparto será equitativo.
10n + 8 = c^2
Pero me parece que eso no se puede dar nunca
Sea c = 10s + t con 0 <= t <= 9
c^2 = 100s^2 + 20st + t^2 = 10(10s^2 + 2st) + t^2
Eso significa que el resto de dividir c^2 entre 10 es el resto que tenga su última cifra al cuadrado al dividir entre 10
Basta con comprobar que los números entre 0 y 9 al cuadrado no tienen resto 8
0^2=0
1^2=1
2^2=4
3^2=9
4^2 = 16 resto 6
5^2 = 25 resto 5
6^2 = 36 resto 6
7^2 = 49 resto 9
8^2 = 64 resto 4
9^2 = 81 resto = 1
Luego no hay ningun cuadrado de número natural cuya forma sea
c^2 = 10n + 8
Por lo tanto si la compensación hubiera sido equitativa no se habría pagado por cada toro su valor, absurdo, luego la compensación no fue justa.
Y eso es todo, sa lu dos.
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Muchas gracias por la ayuda
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Sa lu dos.
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La verdad que es bastante enredado, pero voy a ver hasta donde llego de descifrar esto...
Suponiendo que tenemos n toros, entonces lo que dice la primer oración es que cada animal lo vendieron a n rublos, y por lo tanto el dinero total recibido fue de n toros * n rublos/toro
Dinero recibido = n^2
Si suponemos que compraron m ovejas, lo que dice la segunda oración es que pagaron (m+1) * 10, y más específicamente lo que dice es que:
n^2 = (m+1) * 10
La tercer oración dice que m es impar y por lo tanto, (obviando por un momento la distinción entre el cordero y las ovejas), tenemos también que:
n^2 = 2k * 10
Y esto es válido para infinitos valores de n (n= 10, 20, 30, 40, 50, ...), reemplazando por un valor de k, convenientemente elegido.
Para interpretar las últimas oraciones, voy a considerar algunos casos particulares y ver si se llega a algo:
n=10;
entonces tenemos que m=9 y que uno recibió 5 ovejas y el otro 4 ovejas + el corderito + 1 rublo
n=20;
entonces tenemos que m=39 y que uno recibió 20 ovejas y el otro 19 ovejas + el corderito + 1 rublo
Y puedo seguir escribiendo casos, pero la verdad que no encuentro ningún argumento ni a favor ni en contra para decir si fue o no suficiente la compensación (supongo que hay algo que no me estoy dando cuenta y alguien más se pueda dar cuenta que es lo que falta para terminar este problema)
Salu2