Análisis de Sucesiones y progresiones. Z ES 64
Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente, cada día puedes tomar el doble de monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con las monedas que día a día irás depositando" y le entregó dicha mochila. Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2 gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de (Z/3)kg. Responda las siguientes preguntas. A) ¿Cuántas monedas en total logrará recoger el caballero? B) ¿Cuántos días aproximadamente se tardará en lograrlo? c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? D) ¿La progresión es creciente o decreciente?, Justificar
1 Respuesta
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¡Hola Anónimo!
Primero vamos a ver cuántas monedas caben en la mochila
64/3 kg = 21.3333...kg = 21333.33. g
como cada moneda pesa 2 g caben
21333.33/2 = 10666 monedas enteras
El termino general de la sucesión de las monedas que recoge diariamente es:
$$\begin{align}&a_n=a_1·r^{n-1}\\&\\&a_n=1·2^{n-1} = 2^{n-1}\\&\\&\text{La fórmula de la suma es}\\&\\&S_n=a_1·\frac{r^n-1}{r-1}\\&\\&S_n = 1·\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1\\&\\&\text{haremos}\\&\\&2^n-1 \le 159500\\&\\&2^n\le 159501\\&\\&\text{tomamos logaritmos neperianos}\\&\\&ln(2^n)\le ln\,10666\\&\\&n·ln\,2\le ln\,10666\\&\\&n\le \frac{ln \,10666}{ln\,2}=13.38073\end{align}$$Entonces ahora todo depende de la interpretación que no está muy clara.
Hasta el día 13 ha obtenido
2^(13) - 1 = 8191 monedas
Si no le dejan más ha obtendio 8191 monedas en 13 días
Si le dejan volver el día 14 a recoger hasta completar la mochila obtendrá 10666 en 14 días
Es una progresión geométrica, cada término es el el doble del anterior.
Y es creciente por ser la razón positiva y mayor de 1.
Y eso es todo, sa lu dos.
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