Como resolver esta ecuación diferencial
La verdad no se me ocurre una idea como encararla; probé despejarla para probarla como ecuación exacta pero me queda algo muy feo al armar el factor integrante.
$$\begin{align}&2yx^2+y^2+(x^3+2xylnx)y´=0\end{align}$$alguna pista y/o ayuda yo después la sigo
la respuesta tiene que ser
$$\begin{align}&c=x^2y+y^2lnx\end{align}$$
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
·
¡Hola Matías!
Efectivamente, he comprobado que la respuesta está bien.
$$\begin{align}&2yx^2+y^2 +(x^3+2xy\,·ln\,x)y'=0\\&\\&2yx^2+y^2 +(x^3+2xy\,·ln\,x)\frac {dy}{dx}=0\\&\\&(2yx^2+y^2)dx +(x^3+2xy\,·ln\,x)dy=0\\&\\&M_y=2x^2+2y\\&N_x=3x^2+2ylnx + 2y\\&\\&M_y-N_x=-x^2-2y·lnx\\&\\&\text{Y efectivamente, de ahí mal se puede sacar una función}\\&\text{solo de x o y al dividir por Nx o My}\\&\\&\text{Mi pregunta es: ¿debe usarse que sabemos la respuesta?}\\&\text{Porque si debe usarse, tenemos que al derivarla se tiene}\\&x^2y + y^2·lnx=c\\&\\&2xy+x^2y' +2yy'·ln(x)+\frac{y^2}{x}=0\\&\\&2yx+\frac{y^2}{x}+\left(x^2+2y·ln\,x \right)y'=0\\&\\&\text{la cual es exacta}\\&\\&M_y=2x+\frac {2y}x\\&\\&N_x=2x+\frac {2y}{x}\\&\\&\text{Y la única diferencia con la original es que está}\\&\text{dividida por x}\\&\\&\text{Luego el factor integrante es }\frac 1x\\&\text{aunque no pueda obtenerse por el método habitual}\end{align}$$Espero la aclaración.
Saludos.
·
·
¡Gracias!
No se puede usar la solución!
Pero te paso lo mismo que a mi que la vimos muy feo ese factor integrante para que quede en función de por entonces lo abandonamos, pero la realidad es que...
$$\begin{align}&(My-Nx)/N=-1/x\end{align}$$
