Interpretación geométrica de la función derivada

;)
Si que es lo que preguntas, porque para dibujar la derivada a partir de la función tienes que tener claro que las derivadas calculan pendientes de rectas tangentes.

Tenemos la función azul y queremos dibujar la gráfica de la derivada (la roja)

Cosas que tienes que saber:

1º

En los extremos relativos (máximos y/o mínimos) la recta tangente es horizontal, luego su pendiente vale cero, luego f'=0. Luego la gráfica de la derivada vale 0:corta al eje x en los max y min relativos.

La gráfica azul tiene dos extremos relativos en x=1  y en x=-1, luego la gráfica azul corta en x=1 y en x=-1.

2º En los intervalos donde la función es cónvexa( hacia abajo) las pendientes de las rectas tangentes van disminuyendo: desde valores grandes a cero (si hay máximo) y siguen disminuyendo hasta llegar al punto de inflexión.

Así en el intervalo de la función azul (-infinito, 0) donde es convexa hacia abajo, las pendientes van disminuyendo, lo cual implica que la función derivada (la roja)es decreciente:

Primero positiva (crecen las pendientes)

en x=-1  vale cero(máximo) (corta al eje)

De -1 a 0 negativa (las pendientes decrecen)

3º Los puntos de Inflexión, donde la función cambia de concavidad, son los extremos relativos de la función derivada.

Aquí en el punto (0,0)

Has de saber que

Si pasa de cónvexa(hacia abajo) a cóncava (hacia arriba) la función derivada tiene un mínimo.Como aquí en x=0 la roja tiene un mínimo

Si pasara de cóncava (hacia arriba) a convexa (hacia abajo) tendría un máximo.

Se dice los Puntos de Inflexión de una función son los puntos de máxima i/o mínima pendiente.

4º)

En los intervalos donde la función es cóncava (hacia arriba) aquí en el intervalo de

x>0 la función derivada es creciente

Primero negativa (decreciente)

luego 0  si hay mínimo en x=1

Y finalmente positiva (creciente)

Saludos

;)

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