Calcular los componentes de las parábolas dadas las ecuaciones siguientes

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¡Hola Ginecólogo!

Yo te haré la segunda ligeramente distinta.

y^2-4x-12y+4=0

En esta el término que tiene el cuadrado es la y por lo tanto es una parábola tumbada.

Su ecuación canónica será

(y-k)^2 = 2p(x-h)

Donde p es la distancia de la directriz al foco. Exactamente, p es la coordenada x del foco menos la coordenada x de la directriz. Ya que es importante el signo, si es positivo la parábola se abre hacia la derecha y si es neativo se abre hacia la izquierda.

Vamos a completar cuadrados en la ecuación para obtener la ecuación canónica

y^2 - 4x - 12y + 4 = 0

(y-6)^2 - 36 - 4x + 4 =0

(y-6)^2 = 4x+32

(y-6)^2 = 2·2(x+8)

Luego p=2

Ojo, para mi p es la distancia focal, para el otro experto era la semidistancia focal.

De la ecuación obtenemos el vértice que es (h, k) = (-8, 6)

Y ahora los elementos se obienen así:

foco = vertice + (p/2,0) = (-8,6) + (1,0) = (-7,6)

directriz:  x= (coordenada x del vértice) - p/2 

x= -8 - 1

x=-9

Y esta es la gráfica.

Y eso es todo, sa lu dos.

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Te explico la primera de ellas para que puedas hacer las demás tú mismo. (Aparte que me parece que no están bien copiadas :)).

La ecuación de una parábola es x²= 4py cuando el vértice está en el origen.

Cuano el vértice está fuera del origen y el eje de simetría es paralelo al eje Y

La ecuación es (x - h)² = 4p(y-k) la cual es la ecuación a aplicar, entonces

 x² - 2x - 12y + 4= 0  la reescribimos así  (x-1)² - 1 - 12y + 4= 0 ----> (x-1)²  - 12y + 3= 0 ---->

(x-1)² =  12y - 3 ----> (x-1)² =  12 (y - 1/4) -----> De la ecuación (x - h)² = 4p(y-k) vemos que

el vértice (h,k) es (1,1/4). Además 4p = 12 ----> p = 3 -----> Como p es positivo la parábola abre hacia arriba por lo tanto es foco será (h, k+p) ----> (1,13/4) y la ecuación de la directriz

y = k - p ---> y= -11/4 .

Espero que esté claro.

Un saludo.

P.D. Si el eje es paralelo al eje x se intercambia la x con la y, y la h con la k :

(y - k)² = 4p(x-h)