Anónimo
Cálculo de volumen por integrales
Calcular el volumen de la región limitada por el cilindro de ecuación x^2+y^2=2 y los planos z=0 y z=3-x
Estoy atorado con este ejercicio.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
·
¡Hola Anónimo!
El cilindro es un cilindro centrado en el eje Z de radio sqrt(2). Está claro que hay que hacer la integral en coordenadas cilíndricas. Ya aventuro que el volumen será 6pi, al ser 3 la altura del plano superior en el punto central del cilindro.
En coordenada cilíndricas tenemos:
$$\begin{align}&x=\rho \cos\theta\\&y=\rho sen\theta\\&z=z\\&Jacobiano=\rho\\&\\&V=\int_0^{\sqrt 2}\int_0^{2\pi}\int_0^{3-\rho \cos\theta}\rho\;dz\,d\theta\,d\rho=\\&\\&\int_0^{\sqrt 2}\int_0^{2\pi}\rho z\bigg|_0^{3-\rho \cos\theta}\,d\theta\,d\rho=\\&\\&\int_0^{\sqrt 2}\int_0^{2\pi}(3\rho-\rho^2cos\theta)\,d\theta\,d\rho=\\&\\&\int_0^{\sqrt 2}\left[3\rho\theta-\rho^2sen\theta \right]_0^{2\pi}d\rho=\\&\\&\int_0^{\sqrt 2}6\pi\rho \,d\rho = 3\pi\rho^2\bigg|_0^{\sqrt 2}=6\pi\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
:
: