Anónimo
Calculo integral de volumen de una pirámide
Necesito calcular lo siguiente
Una pirámide de 3 m de altura tiene una base cuadrada que tiene 4m por lado. La sección transversal de la pirámide, perpendicular a una altura de x m del vértice, es un cuadrado de x m por lado. Determinar el volumen de la pirámide
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Anónimo!
El volumen total lo obtienes haciendo rebanadas de la pirámide muy estrechitas y sumando el volumen de esas rebanadas. El volumen de cada rebanada será a^2 dx donde b es la arista del cuadrado.
La arista va creciendo linealmente desde 0 hasta 4m a lo largo de los 3 m que tiene de altura luego la función de determina la arista es
a(x) = 4x/3
ya que así cuando x=0
a(0) = 4·0/3 = 0
y cuando x=3 tenemos
a(3) = 4·3/3 = 4
Luego el volumen será
$$\begin{align}&V=\int_0^3\left(\frac{4x}3 \right)^2dx=\int_0^3 \frac {16 }9x^2dx=\frac{16}{9}·\frac{x^3}{3}\bigg|_0^3=\\&\\&\frac {16}{27}x^3\bigg|_0^3=\frac{16}{27}(3^3-0^3)=\frac {16}{27}·27 = 16\,u^3\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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