No se si la solución que me da este ejercicio es la correcta

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¡Hola Mª Antonia!

Pues hagamos la gráfica, así estaremos seguros

Ha salido clavado, un resultado así no puede salir por casualidad, luego sabías lo que tenías que hacer y has hecho bien las cuentas.

Y eso es todo, saludos.

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La ecuación de la recta tangente en x = 1/2 viene dada por la fórmula:

$$\begin{align}&y-f(1/2)=f'(1/2)(x-1/2)\end{align}$$

La derivada de f(x) es:

$$\begin{align}&f'(x)=\frac{(2x-2)(x-1)-1(x^2-2x+2)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\end{align}$$

Usando función y función derivada obtengo:

$$\begin{align}&f'\left(\frac{1}{2}\right)=-3\\\\&f\left(\frac{1}{2}\right)=-2'5\end{align}$$

Sustituyendo en la primera ecuación para la recta tangente:

$$\begin{align}&y-(-2'5)=-3(x-0'5)\\\\&y+2'5=-3x+1'5\\\\&y=-3x-1\end{align}$$

Que es justamente la ecuación de la recta tangente que has obtenido.

He realizado todos los pasos para mostrarte un ejemplo de como presentar, desarrollar y concluir un ejercicio de este tipo. Tan importante es saber matemáticas como saber reflejar nuestro conocimiento en papel a la hora de resolver un examen.