Álgebra abstracta... Dudas sobre la demostración de un homomorfismo!
Gracias de antemano por todo su apoyo en este ejercicio!
Demostrar que si f es un homomorfismo entre G y H, H es abeliano y N es un subgrupo de G que contiene al ker f, entonces N es normal en G.
1 respuesta
¡Gracias por tu atención Valero!
Pero de esa manera es como plantean el enunciado... voy a ver en donde esta el error, esperando se pueda plantear de otra forma y te aviso.
Saludos!
Deja que lo mire un poco, te lo decía porque si hubiese sido de la otra forma sí que se me ocurrían cosas de inmediato, mientras que así no se me ocurren y casi estaba a punto de buscar el contraejemplo. Por eso te pedía confirmación del enunciado.
Sean a,b € G.
Por ser f un homomorfismo
(ab)f = af · bf =
como H es abeliano
= bf·af = (ba)f
Luego (ab)f = (ba)f para todo a,b € G
Vamos a demostrar Ker f es siempre un subgrupo normal
Sean a € Ker f y sea c € G
[c^(-1)·a·c]f = c^(-1)f · af · cf = c^(-1)f · 1 · cf = c^(-1)f · cf =
Ya vimos otra vez que c^(-1)f = (cf)^(-1) puesto que
1 = 1f = (c·c^-1)f = cf · c^(-1)f
multiplico por (cf)^(-1) a izquierdas
(cf)^(-1) ·1 = (cf)^(-1) · cf · c^(-1)f
(cf)^(-1) = c^(-1)f
por tanto el cálculo que habiamos dejado es
= (cf)^(-1) · cf = 1
es decir,
[c^(-1)·a·c]f = 1
Luego c^(-1)·a·c € Ker f
Y por tanto Ker f es un subgrupo normal.
·
Resumiendo, tenemos dos cosas hasta ahora
1) (ab)f = (ba)f para todo a,b € G
2) Ker f es un subgrupo normal.
Como N contiene a Ker f podemos hacer el grupo cociente K=N/Ker f
Sea n € N y sea a € G
[a^(-1)·n·a]f = [a^(-1)·a·n]f = nf
multiplico a izquierdas por (nf)^(-1)
(nf)^(-1) · [a^(-1)·n·a]f = 1
por lo dicho antes
n^(-1)f · [a^(-1)·n·a]f =1
por ser f homomorfismo
[n^(-1)·a^(-1)·n·a]f = 1
n^(-1)·a^(-1)·n·a € Ker f
Y como Kerf está incluido en N puedo multiplicar por n permaneciendo en N
n·n^(-1)·a^(-1)·n·a = a^(-1)·n·a € N
Luego hemos demostrado que para todo n de N y togo a de G se verifica
a^(-1)·n·a € N
Luego N es un grupo normal en G
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Ahora me doy cuenta que no se ha necesitado que Kerf fuera un subgrupo normal yo pensaba que vendría bien pero cambié de estrategia, si quieres puedes quitar la demostración que hice de eso, yo lo dejo porque su trabajo me costó.
Saludos.
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