Como se resuelve este estudio de caso de probabilidad
La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos. Esta distribución posee diversas aplicaciones. Se le utiliza como modelo para describir la distribución de errores en una entrada de datos, el número de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de automóviles recién pintados, el número de partes defectuosas en envíos, el número de clientes que esperan mesa en un restaurante, el número de accidentes en una carretera en un periodo determinado. La compañía de aviación Delta Airlines, se caracteriza por su responsabilidad y cuidado con el equipaje de sus pasajeros, por lo que pocas veces se pierde equipaje. En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una; en unos cuantos se pierden dos; pocas veces se pierden tres, etc. Suponga que una muestra aleatoria de 1 000 vuelos arroja un total de 300 maletas perdidas. De esta manera, el número promedio de maletas perdidas por vuelo es de 0.3.
1.- ¿Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Poisson? Identifíquelos
2.- Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo no se pierda ninguna maleta
3.- Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierda exactamente una maleta
4.- Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierdan entre dos y cuatro maletas 5.- Podría establecer cuál es la probabilidad de que se pierdan en un vuelo más de cuatro maletas
6.- ¿En qué momento debe sospechar el supervisor de la Aerolínea que en un vuelo se están perdiendo demasiadas maletas?
1 Respuesta
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¡Hola Monica!
1)
Sí, cumple los supuestos de la distribución de Poisson.
El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. En este caso la longitud del intervalo sería el número de vuelos y el número de maletas perdidas será proporcional al número de vuelos.
El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. Y así sucede, las maletas perdidas en unos vuelos no influyen en las que se pierdan en otros vuelos.
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2) El parámetro lambda de la distribución es 0.3 maletas por vuelo.
$$\begin{align}&P(k) = \frac{e^{-\lambda}·\lambda^k}{k!}\\&\\&\text{Donde k es el número exacto de sucesos}\\&\text{de los que queremos conocer la probabilidad.}\\&Y\;\lambda\text{ es el número de sucesos esperado en el}\\&\text{tiempo o espacio que vamos a estudiar.}\\&\\&P(0)=\frac{e^{-0.3}·0.3^0}{0!}=e^{-0.3}\approx0.7408182207\\&\\&3)\\&P(1)=\frac{e^{-0.3}·0.3^1}{1!}=e^{-0.3}·0.3=0.2222454662\\&\\&4)\\&P(4)=\frac{e^{-0.3}·0.3^4}{4!}=\frac{e^{-0.3}·0.0081}{24}=0.00025002615\\&\\&5)\\&\text{Sí. Habría que restar de 1 la probabilidad de perder}\\&\text{0,1,2,3,4 maletas}\\&\text{Aunque se podría aprovechar lo hecho lo haré todo de}\\&\text{nuevo en sola una cuenta}\\&\\&P(X>4)=1-e^{-0.3}\left(1+0.3+\frac{0.3^2}{2}+\frac{0.3^3}{6}+\frac{0.3^4}{24} \right)=\\&\\&1-e^{-0.3}· 1.3498375 = 1-0.999984215=0.00001578504\\&\\&6) \text{Yo creo que se pierden 2 ya son muchas, porque la }\\&\text{probabilidad de perder 2 o más solo es}\\&\\&1-e^{-0.3}\left(1+0.3\right)=0.03669= 3.67\%\end{align}$$:
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