Analizar la distancia recorrida por un móvil (Integral definida)
Problema de integrales definidas. Analizar la distancia recorrida por un móvil cuya función velocidad viene dada por la siguiente gráfica:
$$\begin{align}&V = t\\&\\&V = 1\\&\\&V= t^2-6t+10\\&\\&V= -2t+10\end{align}$$
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Veamos que sale...
$$\begin{align}&\text{Sabemos que x'(t) = v(t), luego x(t) = }\int v(t) dt \text{ (haciendo abuso de notación)}\\&\text{Ahora tenemos que calcular x(t) en cada uno de los tramos}\\&Entre \ 0 \ y \ 1:\\&x(t) = \int_0^1 t \ dt = \frac{t^2}{2}\bigg|_0^1 = \frac{1}{2}\\&Entre \ 1 \ y \ 3:\\&x(t) = \int_1^3 dt = t\bigg|_1^3 = 3-1=2\\&Entre \ 3 \ y \ 4:\\&x(t) = \int_3^4 (t^2-6t+10) dt = (\frac{t^3}{3}-3t^2+10t)\bigg|_3^4 = (\frac{64}{3}-48+40)-(9-27+30)=\frac{4}{3}\\&Entre \ 4 \ y \ 5:\\&x(t) = \int_4^5 (-2t+10) dt = (-t^2+10t)\bigg|_4^5 = (-25+50)-(-16+40)=1\end{align}$$La distancia que recorre el vehículo es la suma de cada tramo, o sea
1/2 + 2 + 4/3 + 1 = 29/6
Ahora, si quisieramos saber donde está, vemos que la última velocidad es negativa, eso quiere decir que se movió en sentido contrario al que venía haciendo, y tenemos que
1/2 + 2 + 4/3 - 1 = 17/6
Y eso dice que recorrió una distancia de 29/6, pero quedó a una distancia de 17/6 del lugar de origen