Hallar el valor medio de una función en un intervalo

;)

Por el Teorema del Valor Medio de una función en un intervalo [a,b]

este se calcula como:

$$\begin{align}&\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx=\\&\\&\frac{1}{3-0} \int _0^3 x \sqrt {x^2+16} \ dx===\\&\\&\\&x^2+16=t\\&2xdx= dt\\&\\&\int x \sqrt {x^2+16} \ dx= \frac{1}{2} \int \sqrt t \ dt=\\&\\&=\frac{1}{2} \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}(x^2+16)^{\frac{3}{2}}\\&\\&===\frac{1}{3} \Bigg [\frac{1}{3} (x^2+16)^{\frac{3}{2}} \Bigg ]_0^3=\\&\\&=\frac{1}{9} \Bigg (25^{\frac{3}{2}}-16^{\frac{3}{2}} \Bigg)=\frac{1}{9}(125-64)=\\&\\&=\frac{61}{9}\end{align}$$

Saludos

;)

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¡Hola Oscar!

Hallaremos la integral en el intervalo y la dividiremos entre la longitud del intervalo.

$$\begin{align}&\mu=\frac{\int_0^3x \sqrt{x^2+16}\,dx}{3-0}=\\&\\&t^2=x^2+16\\&2tdt=2x\;dx\implies x\,dx=t\;dt\\&x=0\implies t=\sqrt{0^2+16}=4\\&x=3\implies t=\sqrt{3^2+16}=5\\&\\&=\frac 13·\int_4^5 t·t\;dt=\frac{1}{9}t^3\bigg|_4^5=\frac{125-64}{9}=\frac{61}9\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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