¿Cuáles son las inecuaciones cuadráticas?

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Hola bere!

Una inecuación cuadrática es una inecuación con polinomios de segundo grado.

Por ejemplo:

$$\begin{align}&x^2-2x>3\\&o\\&x^2-2x\geq3\\& o \\&x^2-10x<0\\&\\&x^2+2x+4 \leq2x+2\end{align}$$

Para resolver una inecuación cuadrática primero se resuelve la ecuación:

Por ejemplo

$$\begin{align}&x^2-2x>3 \Rightarrow x^2-2x-3>0\\&\\&x^2-2x-3=0\\&\\&x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2 \pm \sqrt {4+12}}{2}=\\&\\&x_1=\frac{2+4}{2}=3\\&\\&x_2=\frac{2-4}{2}=-1\end{align}$$

Se ordenan en la recta real estas soluciones,dando lugar a tres intervalos:

$$\begin{align}&(-\infty,-1)\\&\\&(-1,3)\\&\\&(3,+\infty)\end{align}$$

Sustituimos un valor cualquiera del intervalo en la incuación para descubrir que intervalos cumplen lainecuación :

$$\begin{align}&P(x)=x^2-2x-3>0\\&\\&(-\infty,-1)  ; P(-10)=100-20-2>0 \ Si\\&\\&(-1,3) ; P(0)=-2 <0  \ NO\\&\\&(3,+\infty); P(10)=100-20-3>0  \ Si\\&\\&Solución:\\&(-\infty,-1)  \bigcup(3,+\infty)\end{align}$$

La solución son todos los números que pertenecen a alguno de los dos intervalos solución.

U representa "unión de intervalos"

Saludos

;)

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¡Hola Bere!

Son inecuaciones con polinomios de grado 2.

Si lo llevas todo a la izquierda siempre llegarás a una de estas dos inecuaciones con a>0

1)  ax^2 + bx + c <=0

2)  ax^2 +bx + c >=0

Ya que si a<0 lo multiplicas todo por -1 cambiando el sentido de la desigualdad.

Entonces eso son parábolas con forma de U.

Si la inecuación es del tipo 1 la respuesta son los valores de x en los que la parábola está por debajo del eje X, luego es el intervalo entre las dos raíces si existen, o solo el punto de solución si es doble, o nada si no hay raíces.

Así si las raíces son -1 y 2 la solución es [-1, 2], si la raíz única única es 0 la respuesta es x=0 y si no hay raíces no hay respuesta.

Si la ecuacuación es del tipo 2, entonces la respuesta son los x donde la parábola está por encima del eje X, entonces si hay dos raíces r1 < r2 la solución será

(-Infinito, r1] U [r2, infinito)

Y si hay una sola respuesta o ninguna la solución es toda la recta real.

Lo dicho es para signos mayor o igual y menor o igual. Si son mayor o menor hay que suprimir del conhunto solución a las raíces.

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides valorar.

Saludos.

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