Problemas de conteo. Análisis combinatorio
- ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse nueve personas en una hilera de doce sillas? .
2. Cuatro parejas asisten a una cena y tomarán asiento alrededor de una mesa redonda. ¿Cuántas formas distintas de sentar a las ocho personas existen si: a) las parejas deben sentarse juntas, b) una pareja debe quedar junta, c) una pareja debe quedar separada?
1 respuesta
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¡Hola CalolinaBoni!
1) Primero calculamos las combinaciones de sillas que se usan y luego multiplicamos por las formas que se pueden sentar en ellas.
Las combinaciones de sillas son combinaciones de 12 tomadas de 9 en 9
C(12, 9) = C(12, 3) = 12·11·10 / 6 = 220
Y las formas en que se pueden sentar las personas una vez ya elegidas las sillas son permutaciones de 9
P(9) = 9!
Luego las formas posibles de sentarse son
220 · 9! = 79833600
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2)
Las posiciones relativas de las cuatro parejas son permutaciones circulares de 4
PC(4) = P(3) = 3! = 6
Y dentro de cada pareja se pueden poner de 2 formas, luego en total son
6 · 2^4 = 6 · 16 = 96 formas
.
Supongo que quieren decir que determinada pareja, Andrés y Patricia deben estar siempre juntos.
Al estar en círculo hay posiciones que son la misma aunque la numeración sea distinta.
Por ejemplo:
12345678 es lo mismo que 34567812, 67812345, etc
Podemos reducirlas a un representante único si hacemos que determinado número sea siempre el primero, por ejemplo el 1.
En este caso tomamos por ejemplo al varón de la pareja primera y lo ponemos siempre el primero. Entonces su oareja estará o en el puesto 2 o en el 8, son dos posibilidades. Y los otros 6 pueden estar donde quieran, permutaciones de 6. Luego son
2 · P(6) = 2·6! = 2 · 720 = 1440
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Lo mismo de antes, supongo que Andrés y Patricia deben estar siempre separados. Y uso la misma técnica para no repetir posiciones, poner a determinada persona siempre en la posición 1.
Pondré a Andrés en la posición 1, entonces Patricia debe estar en cualquiera menos la 2 y 8, luego tiene 5 lugares. Y los otros 6 donde quieran. Luego son
5 · P(6) = 5 · 6! = 5 · 720 = 3600 formas.
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