¿Cómo demostrar el teorema de la Charnela?

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¡Hola Anónimo!

Se llama de la charnela o de la bisagra y dice:

Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes, y si los ángulos comprendidos entre ellos no son congruentes, entonces al ángulo mayor comprendido, se opone el lado mayor.

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Es una consecuencia inmediata del teorema del coseno.

Conocidos los lados a, b y el ángulo C de un triángulo tenemos

$$\begin{align}&c^2 = a^2+b^2-2ab·\cos C\\&\\&\text{Tenemos dos triángulos con los lados a=a' y b=b' }\\&\text{la única diferencia en la fórmula entre c y c' viene}\\&\text{dada porque }C\neq C'\\&\\&\text{El coseno entre 0 y 180º es decreciente,}\\&\text{Empieza con 1, pasa por 0 y llega a -1.}\\&\text{Pero entonces la expresión }-2ab·\cos C\\&\text{es creciente al llevar ese signo -}\\&\\&Luego\\&c=\sqrt{a^2+b^2-2ab·\cos C}\quad \text{ es creciente}\\&\text{en función de C, a mayor C mayor c, a mayor}\\&\text{ángulo mayor lado.}\end{align}$$

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¡Gracias! Si lo entiendo, solo estaba pensando como demostrar sin usar las propiedades trigonométricas  y solo son los axiomas, postulados o teoremas elementales de geometría euclideana.

=D