El número de viviendas construidas por año, N, depende de la tasa de interés hipotecaria r de acuerdo con la fórmula:
El número de viviendas construidas por año, N, depende de la tasa de interés hipotecaria r de acuerdo con la fórmula:
$$\begin{align}&𝑁(𝑟) = \frac{50}{100+r^2}\end{align}$$Donde N está en millones. La tasa de interés actualmente está en 12% y se predice que disminuirá a 8% en los siguientes 2 años de acuerdo con la fórmula
$$\begin{align}&r(t)=12- \frac{8t}{t+24}\end{align}$$Donde t es el tiempo medido en meses, a partir de ahora. Exprese N como una función del tiempo t. Calcule el valor de N cuanto t=6.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Lola!
Sustituiremos r de la fórmula primera por el r(t) de la segunda
$$\begin{align}&𝑁(𝑟(t)) = \frac{50}{100+[r(t)]^2}\\&\\&\text{Como r(t) es una función de t, la}\\&\text{composición es una función de t}\\&\\&N(t)=\frac {50}{100+\left(12-\frac{8t}{t+24} \right)^2}=\\&\\&\\&\frac {50}{100+\left(\frac{12t+288-8t}{t+24} \right)^2}=\\&\\&\frac {50}{100+\left(\frac{4t+288}{t+24} \right)^2}=\\&\\&\frac{50}{\frac{100(t+24)^2+(4t+288)^2}{(t+24)^2}}=\\&\\&\frac{50(t+24)^2}{100(t+24)^2+(4t+288)^2}=\\&\\&\frac{50t^2+2400t+28800}{100t^2+4800t+57600+16t^2+2304t+82944}\\&\\&N(t)=\frac{50t^2+2400t+28800}{16t^2+7104t+140544}\\&\\&\\&N(6)=\frac{50·6^2+2400·6+28800}{16·6^2+7104·6+140544}=\\&\\&\frac{1800+14400+28800}{576+42624+140544}=\frac{45000}{183744}=\\&\\&0.2449059561 \text{ millones de viviendas}\\&\\&N(6)=244906\; viviendas\end{align}$$:
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En la Segunda parte no quedaría como 116t^2 en vez de 16t^2?
Si claro, es 116t^2. En mi descargo podría decir que este teclado falla muchas veces y no se marca la tecla, creo que debió ser por eso.
$$\begin{align}&𝑁(𝑟(t)) = \frac{50}{100+[r(t)]^2}\\&\\&\text{Como r(t) es una función de t, la}\\&\text{composición es una función de t}\\&\\&N(t)=\frac {50}{100+\left(12-\frac{8t}{t+24} \right)^2}=\\&\\&\\&\frac {50}{100+\left(\frac{12t+288-8t}{t+24} \right)^2}=\\&\\&\frac {50}{100+\left(\frac{4t+288}{t+24} \right)^2}=\\&\\&\frac{50}{\frac{100(t+24)^2+(4t+288)^2}{(t+24)^2}}=\\&\\&\frac{50(t+24)^2}{100(t+24)^2+(4t+288)^2}=\\&\\&\frac{50t^2+2400t+28800}{100t^2+4800t+57600+16t^2+2304t+82944}\\&\\&N(t)=\frac{50t^2+2400t+28800}{116t^2+7104t+140544}\\&\\&\\&N(6)=\frac{50·6^2+2400·6+28800}{116·6^2+7104·6+140544}=\\&\\&\frac{1800+14400+28800}{4176+42624+140544}=\frac{45000}{187344}=\\&\\&0.2401998463 \text{ millones de viviendas}\\&\\&N(6)=240200\; viviendas\end{align}$$Revísalo bien todo por si ha habido algún otro fallo.
Saludos.
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