Usando la identidad trigonométrica demuestra que el siguiente conjunto es linealmente dependiente {cos (2x), 1, cos^2(x)}.

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si uno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás:

Utilizando las Identidades del coseno del ángulo doble y la Formula Fundamentalde la Trigonometria:

$$\begin{align}&\cos(2x)=\cos^2x-sen^2x\\&\\&sen^2x+\cos^2x=1 \Rightarrow sen^2x=1-\cos^2x\\&\\&\cos(2x)=\cos^2x-sen^2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)=2cos^2x-1\\&\end{align}$$

Luego cos(2x), cos^2x     y  1  son linealmente dependientes

Saludos

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;)

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¡Hola Esteban!

Son linealmente independientes si una combinación lineal de ellos con no todos los coeficientes nulos es igual al elemento neutro.

En la práctica se puede usar que uno sea una combinación lineal de los otros, es una definición equivalente.

En este caso lo importante es usar esta identidad

$$\begin{align}&\cos\,2x = \cos^2x-sen^2x\\&\\&\text{Con ello si tomamos la combianción lineal}\\&\\&1·\cos(2x) - 2·\cos^2x +1 =\\&\\&\cos^2x-sen^2x-2cos^2x+1=\\&\\&-\cos^2x-sen^2x+1 =\\&\\&-(\cos^2x+sen^2x) + 1 =\\&\\&\text{por la identidad fundamental de la trigonometría}\\&\\&-1+1=0\end{align}$$

Luego tenemos una combinación lineal de los tres vectores con coeficientes 1,-2,1 cuyo resultado es 0.  Eso significa que son linealmente dependientes.