¿Porque p(x)=x^2+1 y q(x)=2x+3, no forman una base para P2 el espacio de polinomios de grado a lo mas 2?

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¡Hola Esteban!

Sabemos que P2 son los polinomios de la forma

ax^2 + bx + c

Y sabemos que una base puede ser

B{1, x, x^2}

Por sr un sistema independiente y generador.

Entonces por teoremas sobre espacios vectoriales finitos tenemos que las bases de todo espacio vectorial finito tienen el mismo número de vectores, luego toda base tendra tres elementos. Como solo hay 2, no pueden ser una base.

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Y otra respuesta más difícil será encontrar un polinomio que no se pueda generar con el, pera ello debemos buscar un polinomio tal que forma un sistema independiente con los otros 2.

Es sencillo, si dibujas la matriz de coeficientes verás tienes el comienzo de una matriz con ceros por debajo de la diagonal, le añades en la ercera fila los ceros que faltan y algo distinto de 0 en la diagonal

1  0  1

0  2  3

0  0  1

Y el determinante es 2 y los tres vectores son linealmente independientes, y por eso ese tercero no se podrá poner como combinación lineal de los dos primeros y estos no serán una base al no ser un sistema generador.

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