Ejercicio con resolución homogénea segunda parte
No entiendo este tipo de ejercicios me gustaría una ligera explicación para poder entenderlos y realizarlos
(xy+y^2+x^2)dx-x^2dy=0
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Marco!
Yo desde aquí veo que es una homogénea. Pero la forma de comprobarlo es poner la ecuación en la forma
dy/dx = f(x, y)
y comprobar que se verifica
f(kx,ky) = f(x,y)
$$\begin{align}&(xy+y^2+x^2)dx-x^2dy=0\\&\\&(xy+y^2+x^2)dx=x^2dy\\&\\&\frac {dy}{dx}=\frac{xy+y^2+x^2}{x^2}=\frac yx +\left(\frac yx\right)^2+1\\&\\&f(kx,ky)=\frac{kx}{ky}+ \left(\frac{ky}{kx}\right)^2+1=\\&\\&\frac yx +\left(\frac yx\right)^2+1=f(x,y)\\&\\&\text{Luego es homogénea}\\&\\&\text{Entonces hay que hacer el cambio}\\&\\&u=\frac yx\implies y=ux\\&\\&\text {calculamos }\frac {dy}{dx} \text{para sustituirlo}\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}·x+u=u+u^2+1\\&\\&\frac{du}{dx}·x=u^2+1\\&\\&\text{tiene las variables separadas}\\&\\&\frac{du}{1+u^2}=\frac {dx}x\\&\\&\text{integramos en los dos lados}\\&\\&arctg u = lnx+lnC = ln(Cx)\\&\\&u= tg[ln(Cx)]\\&\\&\frac yx = tg[ln(Cx)]\\&\\&y =x· tg[ln(Cx)]\end{align}$$:
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