Problemas sobre razón de cambio y tangente de curva
1. Un recipiente en forma de cono invertido de 10 m de altura y 2 m de radio está lleno con un líquido, este sufre una avería y el líquido comienza a fluir con una velocidad de 3 0.8m /s . ¿Con qué velocidad baja el líquido cuando ha descendido 4 m de altura?
2. Se infla un globo en forma esférica de modo que su volumen se incrementa con una velocidad de 3 3 / m min . ¿A qué razón aumenta el diámetro cuando éste es de 10 m?
3. Un niño juega con un papalote que está a una altura de 25m corriendo horizontalmente con una velocidad de 0.75m/s . Si el hilo que sujeta el papalote esta tenso, ¿a qué razón se afloja cuando la longitud del hilo suelto es de 60m?
1 respuesta
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¡Hola Juan Manuel!
Estos son ejercicios de suficiente entidad, solo se puede contestar uno en cada pregunta. Voy a hacer el segundo y si quieres los otros mándalos cada uno en su propia pregunta.
2)
Lo que nos piden es calcular la derivada del diámetro respecto del tiempo cuando el diámetro es 10 m. Llamaré D(t) a la función que nos da la longitud del diámetro en el minuto t.
La derivada que conocemos nosotros es la del volumen respecto del tiempo ya que este crece a una velocidad constante de 3m^3/min
$$\begin{align}&\frac{dV}{dt}= 3\; m^3/min\\&\\&\text{Por la regla de la cadena podemos poner}\\&\\&\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dD}·\frac{dD}{dt}= 3\,m^3/min\\&\\&\text{donde D es la función radio del globo}\\&\\&\frac {dD}{dt}=\frac {3}{\frac{dV}{dD}}\\&\\&Como\; V=\frac 43\pi \left(\frac D2\right)^3=\frac{1}{6}\pi D^3\implies\\& \frac {dV}{dD}= \frac{1}{2}\pi D^2\\&\\&\\&\frac{dD}{dt}\bigg|_{d=10}=\frac 3{\frac \pi 2·10^2}=\frac{3}{50\pi}\; m/min\end{align}$$:
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