Resolver una derivada de orden superior
Necesito calcular la siguiente ecuación de orden superior:
$$\begin{align}&tanh^-1x=1/2 \in [1+x/1-x]\end{align}$$
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Juan Manuel!
No entiendo bien la pregunta.
En el título dices hallar una derivada de orden superior, pero en el enunciado parece que hay una ecuación
tanh^(-1)(x) = 1/2
Y lo de pertenece a [1+x/1-x] ya no le encuentro ningún sentido porque deberia ser un intervalo pero lo que hay es una división que supongo quieres decir [(1+x)/(1-x)]
Todo muy confuso, ¿podrías explicarlo bien?
Saludos.
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perdon es conciderando la funcion tanh x debo demostrar que
$$\begin{align}&tanh^-1x=\frac{1}{2} 1n[\frac{(1+x)}{(1-x)}]\end{align}$$creo que ahora si la puse bien
el -1 es potencia
¡Ahora sí se entiende!
Partimos de la definición de las funciones hiperbólicas
$$\begin{align}&ch\,x= \frac{e^x+e^{-x}}{2}\\&\\&sh\,x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\&\\&y=th\,x=\frac{sh\,x}{ch\,x}= \frac{e^x-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\\&\\&\text{Podemos simplificar multiplicando y dividiendo por }e^x\\&\\&y=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\\&\\&\text{Y para calcular la inversa primero despejaremos x}\\&\\&y(e^{2x}+1) = e^{2x}-1\\&\\&y·e^{2x}+y-e^{2x}=-1\\&\\&e^{2x}(y-1) = -1-y\\&\\&e^{2x}=\frac{-1-y}{y-1}=\frac{1+y}{1-y}\\&\\&\text{extraemos logaritmos neperianos}\\&\\&2x =ln\left(\frac{1+y}{1-y} \right)\\&\\&x=\frac 12ln\left(\frac{1+y}{1-y} \right)\\&\\&\text{Y una vez despejada x se cambia la x por }\\&\text{la función inversa y la y por x}\\&\\&th^{-1}x=\frac 12 ln\left(\frac{1+x}{1-x} \right)\\&\\&\end{align}$$:
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