Ejercicio de estadística - Estimar tamaño muestral para población binomial
Se tiene una población en la que el porcentaje p de esquizofrénicos en todos los países es, de forma invariable, del 1%. Determinar el tamaño de muestra necesario para que el porcentaje de esa muestra difiera en términos absolutos de p en menos de 0'003 con probabilidad 0'9, suponiendo que dicho tamaño muestral va a resultar grande.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Javiabelo!
La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es esta
$$\begin{align}&I=p\pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{pq}n}\\&\\&\text{Lo que nos piden es que el término que se se}\\&\text{suma o resta sea menor que 0.003, entonces}\\&\\&z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{pq}n}\lt 0.003\\&\\&\text{Calculemos el }z_{\alpha/2} \text { correspondiente a 0.9 de confianza}\\&\\&\alpha=1-0.9 = 0.1\implies\alpha/2 = 0.05\\&\text {debe dejar 0.05 a la derecha, luego 0.95 a la izquierda}\\&\text{buscando esa probabilidad dentro de la tabla vemos que}\\&\text{corresponde al valor 1.645}\\&z_{0.05}=1.645\\&\\&\text{otros datos son}\\&p= 0.01\\&q=1-p=0.99\\&\\&\text{Los llevamos todos a la desigualdad}\\&\\&1.645 \sqrt{\frac{0.01·0.99}n}\lt 0.003\\&\\&1.645 \sqrt{\frac{0.0099}n}\lt 0.003\\&\\&\sqrt{\frac{0.0099}n}\lt 0.00182371\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&\frac{0.0099}n\lt 3.3259·10^{-6}\\&\\&n>\frac{0.0099}{3.3259·10^{-6}}=2976.6275\\&\\&\text{La muestra necesaria es de 2977 personas al menos}\\&\end{align}$$:
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