Encontrar la función de densidad continua uniforme sobre (1,2)

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¡Hola Atom!

Esto ya es una vuelta más de tuerca, la variable 1/Y no es uniforme y la función de densidad ya será complicada de calcular.

Respecto de la variable 2X no hay problema es una función uniforme en el intervalo [2, 4] su función de densidad es constante

f_2X(X) = 1/2

La función 1/Y toma valores entre 1/2 y 1

$$\begin{align}&\text{debe tener una función de densidad }f_{1/Y}(y)\:\text{ tal que}\\&\\&F_{1/Y}(y)=\int_{\frac 12}^yf_{1/Y}(t)\;dt=2-\frac 1y\\&\\&\text{de esta manera para }y=\frac 12\\&\\&\int_{\frac 12}^{\frac 12}f_{1/Y}(t)\;dt=0=2-\frac 1{\frac 12}=2-2=0\\&\\&\text{Y para =1}\\&\\&\int_{\frac 12}^1f_{1/Y}(t)dt=?=2-\frac 11=1\\&\\&Ese \; 2-\frac 1y\text {esta calculado de forma que al intervalo }\\&\\&\left[\frac 12,y\right] \text{le corresponda el área de la variable Y }\\&\text{en el intervalo }\left[\frac 1y, 2\right] \text{ya que la variable } 1/Y\\&\text{transforma uno en otro y las respectivas funciones de }\\&\text{distribución les deben asignar la misma area y que }\\&\text{significa la misma probabilidad}\\&\\&\text{Bueno, pues como sabemos que}\\&\\&F_{1/Y}(y) = 2-\frac 1y\implies f_{1/Y}(y)=F_{1/Y}'(y)= \frac 1{y^2}\\&\\&\text{Comprobemos minimamente que está bien}\\&\\&\int_{\frac 12}^1 \frac{1}{y^2}dy = -\frac 1y\bigg|_{\frac 12}^1= -\frac 11+\frac 1{\frac 12}=-1+2=1\\&\\&\text{Al menos cumple eso, yo creo que estará bien}\end{align}$$

Recapitulemos, tenemos la variable 2X uniforme que toma valores en [2,4] con función de densidad 1/2.  Y tenemos la variable 1/Y no uniforme que toma valores en [1/2, 1] con función de densidad 1/y^2

La variable suma de las dos es:

U= 2X + 1/Y

tomará valores en [2+1/2, 4+1] = [5/2, 5]

O para entenderlo mejor en [2.5,  5]

Las integrales que se necesitan para calcular la funcion de densidad de U las vamos a hacer sobre el valor que tome 1/Y

$$\begin{align}&U=2X+1/Y\\&1/Y = U-2X \\&1/Y\in[u-4, u-2]\cap[1/2,\;1]\\&\\&Si\; u-4\le \frac 12 \implies u\le \frac 92=4.5\implies 1/Y\ge \frac 12\\&\\&Si\;u-2\ge1 \implies u\ge 3 \implies 1/Y\le1\\&\\&\text{Y no pongo condiciones a 2X porque la vez}\\&\text{anterior no sirvieron para nada}\\&\\&\text{Los puntos donde hay cambio en los límites}\\&\text {de integración son } 3\;y\;4.5\\&\\&\text{Luego deberemos estudiar tres trozos con la fórmula} \\&\\&f_U(u)=\int_{li}^{ls}f_{1/Y}(y)·f_{2X}(u-y)dy=\\&\text{con las funciones de distribución que hay tenemos}\\&\text{la suerte de que }f_{2X}\text{ es constante}\\&\\&=\int_{li}^{ls}\frac{1}{y^2}·\frac 12dy=-\frac 12·\frac 1y\bigg|_{li}^{ls}=\frac{1}{2}\left(\frac 1{li}-\frac 1{ls}\right)\\&\\&\text{li y ls son los límites inferior y superior tales que}\\&\text{un valor de 1/Y comprendido entre ellos sumado a un}\\&\text{valor de 2X puede dar como resultado u}\\&\text{Su valor normal sería u-4 y u-2 pero hay valores de u}\\&\text{para los que tienen una limitación especial}\\&\\&1)\;Si \;2.5 \le u\le 3\\&\text{Como } u \le 4.5  \text{ el límite inferior es }\frac 12\\&f_U(u)=\frac 12\left(\frac 1{\frac 12} -\frac{1}{u-2} \right)=1-\frac{1}{2u-4}\\&\\&\\&2)\;Si \:3\le u\le 4.5\\&\text{Como } u\le 4.5 \text{ el límite inferior es }\frac 12\\&\text{Como } u \ge 3 \text{ el límite superior es }1\\&f_U(u)=\frac 12\left(\frac 1{\frac 12}-\frac 11  \right)=\frac 12\\&\\&\\&3)\;Si\;4.5\le u\le 5\\&\text{Como }u\ge 4.5 \text{ no hay limitación especial inferior}\\&\text{Como }u \ge 3\text{ el límite superior es 1}\\&\\&f_U(u)=\frac 12\left(\frac 1{u-4}-\frac 11  \right)=\frac{1}{2u-8}-\frac 12\\&\end{align}$$

Y salimos de la caja para que el ordenador no se atasque y en seguida abrimos otra para hacer la comprobación rutinaria de que la función de densidad tiene integral 1.  No lo he puesto pero se supone que fuera del intervalo [2.5,  5] la función de densidad vale 0.

$$\begin{align}&\int_{2.5}^{3}\left(1-\frac{1}{2u-4}  \right)du= \left[u-\frac 12ln(2u-4)  \right]_{2.5}^3=\\&\\&3-\frac 12 ln 2-2.5+ln\,1= 0.5-ln \sqrt 2\\&\\&\\&\\&\int_3^{4.5} \frac {du}2=\frac 12(4.5-3)= 0.75\\&\\&\\&\\&\int_{4.5}^5\left(\frac{1}{2u-8}-\frac 12  \right)du=\left[\frac 12ln(2u-8)-\frac u2  \right]_{4.5}^5=\\&\\&\frac 12ln 2-2.5-\frac 12 ln\,1+2.25=ln \sqrt 2-0.25\\&\\&\text{Y la integral entre 2.5 y 5 es la suma de las tres}\\&\\&0.5 - ln \sqrt 2+0.75+ln \sqrt 2-0.25= 1\end{align}$$

Me alegro mucho que haya salido bien, a la primera.

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