Como resuelvo estos problemas de continuidad de una función vertical

$$\begin{align}&\lim_{t \to 0}=\frac{4^t-3^t}{7^t-6^7}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}=L'Hopital=\\&\\&=\lim_{t \to 0}\frac{4^t ln4-3^t ln3}{7^t ln7-6^t ln6}=\frac{ln4-ln3}{ln7-ln6}\\&\\&\lim_{t \to 0}\frac{cost-\cos(sent)}{t^2}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}=L'Hopital=\\&\\&=\lim_{t \to 0}\frac{-sent+sen(sent)cost}{2t}=\frac{0}{0}=L'Hopital=\\&\\&=\lim_{t \to 0}\frac{-cost+\cos(sent)\cos^2t+sen(sent)(-sent)}{2}=\frac{-1+1+0}{2}=\frac{0}{2}=0\\&\\&\lim_{t \to 0}\frac{e^{at}-b^{bt}}{senat-senbt}=\frac{1-1}{0-0}=\frac{0}{0}=L'Hopital=\\&\\&=\lim_{t \to 0}\frac{e^{at}·a-e^{bt}·b}{acosat-bcosbt}=\frac{a-b}{a-b}=1\\&\\&\lim _{t \to 0} \vec{f}(t)=\Big(\frac{ln4-ln3}{ln7-ln6},0,1\Big)\end{align}$$

Saludos:

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¡Hola Alex!

Yo haré el otro:

$$\begin{align}&\lim_{t\to 0}\frac{1-cost}{3t^2}=\lim_{t \to 0}\frac{sent}{6t}=\lim_{t\to 0}\frac{\cos t}{6}=\frac 16\\&\\&\\&\lim_{t\to 0}\frac{2arcsen\,2t}{3t}=\frac{\frac{4}{\sqrt{1-t^2}}}{3}=\frac 43\\&\\&\\&\lim_{t\to 0} \frac{1-sen\left(\frac{\pi}{2}-\frac t2  \right)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\frac 12cos\left(\frac \pi 2 -\frac t2  \right)}{1}=0\\&\\&\lim_{t\to 0} \vec f(t)=\left(\frac 16, \frac 43,0  \right)\end{align}$$

Dando ese valor a la fución en t=0 se salva la continuidad.

Y eso es todo, saludos.

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