Problema de resorte para resolver con ecuaciones diferenciales
Buenas tardes espero me ayuden a resolver este problema paso a paso les agradezco
1 Respuesta
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¡Hola Oscar!
En la posición inicial de reposo deben equilibrarse la fuerza que el resorte ejerce hacia arriba con la fuerza de la gravedad.
mg = -kx
k = -mg/x
Ya que la resolución del ejemplo me la das en unidades anglosajonas voy a hacer de tripas corazón y procuraré trabajar con ellas.
La g para ellos es g= 32pies/s^2
La x con la que se llega al reposo, que sería más claro llamarla y es x=-3
Y la masa es 4lb
Luego tenemos
k = -4 lb ·32 pies/s^2 / (-3 pies) = 128/3 = 42.666... lb/s^2
¡Qué medidas más raras! ¿De verdad hay que usarlas?
Te mando esto de momento mientras estudio la continuación.
Saludos.
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El sumatorio de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo será la masa por la aceleración.
Las fuerzas son la del muelle y la de la gravedad
F1 = -kx
F2 = -mg
-kx - mg = ma
La aceleración la sustituimos por la derivada segunda de la posición
$$\begin{align}&-kx-mg=m \frac{d^2x}{dt^2}\\&\\&mx''+kx+mg=0\\&\\&x''+\frac{k}{m}x =-g\\&\\&\text{La solución de la ecuación diferencial homogénea es}\\&\\&\lambda^2+\frac km=0\\&\\&\lambda=\pm \sqrt {-\frac km}=0\pm \sqrt{\frac km}\;·i\\&\\&x_h=e^{0x}\left(A·\cos \sqrt {\frac km}\;t +B·sen \sqrt {\frac km}\;t \right)\\&\\&x_h= A·\cos \sqrt {\frac km}\;t +B·sen \sqrt {\frac km}\;t\\&\\&\text{Una solución particular de la ecuación completa}\\&\text{es sencilla en este caso, será una constante}\\&\\&y_p=C\\&\\&C''+\frac kmC=-g\\&\\&0+\frac kmC=-g\\&\\&C=-\frac{mg}{k}\\&\\&\text{Luego la solución general de la ecuación completa es}\\&\\&x(t) = A·\cos \sqrt {\frac km}\;t +B·sen \sqrt {\frac km}\;t-\frac{mg}{k}\\&\\&Como\; k= \frac {128}3,\quad m=4\implies \frac km=\frac {32}3\\&\\&\text{Y como la g anglosajona es }g=32 \\&\\&x(t)= A·\cos \sqrt{\frac{32}{3}}\;t+B·sen \sqrt{\frac{32}{3}}t - 3\end{align}$$Bueno de momento ya he deducido la ecuación diferencial, ahora haría falta encontrar las constantes A y B de acuerdo a las condiciones particulares del problema. Te lo dejo para que lo vayas estudiando, tengo que dejar el ordenador un rato.
Saludos.
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Lo que pasa es que no da mucho gusto trabajar con esa ecuación sabiendo que se puede expresar solo con el seno.
$$\begin{align}&\text{Si hacemos }\\&\\&A=C·sen\varphi\quad \\&B=C·\cos\varphi\\&\\&\text{tendremos}\\&\\&A^2+B^2=C^2\implies C=\sqrt{A^2+B^2}\\&tg\varphi=\frac AB\implies\varphi=arctg \frac AB\\&\\&\text{y la ecuación de movimiento queda}\\&\\&x(t)=C·sen\varphi·\cos \sqrt{\frac {32}3}\;t+ C·\cos\varphi·sen \sqrt{\frac {32}{3}}\;t-3\\&\\&x(t) = C·sen\left(\sqrt{\frac{32}{3}}\;t+\varphi \right)-3\\&\\&\text{Pongamos las condicines iniciales}\\&\\&x(0)=-3\\&\\&-3=Csen\left(\sqrt{\frac{32}{3}}\;·0+\varphi \right)-3\\&\\&C·sen\varphi=0\\&\\&\varphi=0\\&\\&\text{Luego ya hemos reducido la ecuación a}\\&\\&x(t) = C·sen\left(\sqrt{\frac{32}{3}}\;t \right)-3\\&\\&\text{y la otra condición inicial es}\\&\\&v(0)=-\sqrt 2\\&\\&v(t)=x'(t)=\sqrt {\frac{32}{3}}·C·\cos\left(\sqrt{\frac{32}{3}}\;t \right)\\&\\&-\sqrt 2= \sqrt \frac{32}3 C\\&\\&C=- \sqrt{\frac 6{32}}=-\sqrt{\frac{3}{16}}= - \frac{\sqrt 3}{4}\\&\\&\text{luego la ecuación de posición definitiva es}\\&\\&x(t) = - \frac{\sqrt 3}{4}sen\left(\sqrt \frac{32}3\;t \right)-3\\&\\&\text {Amplitud A = } \frac{\sqrt 3}{4}\approx 0.4330127019 \,pies\\&\\&\text{Periodo T = }\frac{2\pi}{w}=\frac {2\pi}{\sqrt \frac{32}3}=\frac{2 \sqrt 3}{4 \sqrt 2}\pi=\frac 12 \sqrt{\frac 32}\;\pi\approx\\& 1.923824745 \,s\\&\\&\text{frecuencia f =}\frac 1T=\frac 2\pi ·\sqrt \frac{2}{3}=0.5197978675\, s^{-1}\\&\\&\text{la posición de equilibrio es x=-3}\\&\\&Como \;x = - \frac{\sqrt 3}{4}sen\left(\sqrt \frac{32}3\;t \right)-3\\&\\&\text{el cuerpo pasa por posiciones de reposo cuando el seno vale 0}\\&\\&\sqrt{\frac{32}{3}}\;t=k\pi\quad con\; k\in \mathbb Z\\&\\&\text{La proxima es con k=1}\\&\\&t=\pi \sqrt{\frac{3}{32}}\approx 0.9619123726s\\&\\&\text{Claro, lo lógico, la mitad del periodo}\end{align}$$Y eso es todo, no sé que tal lo habré hecho, a lo mejor no ha sido la forma más fácil. Por si acaso recuérdale al profe que la forma de expresar la solución no tiene porque ser única.
Saludos.
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