Duda con ejercicio sobre polinomios
Mi duda es sobre el siguiente ejercicio
"Determine los numeros opuestos h y k para que p(x) = x^3 - x^2 + hx - k sea divisible por q(x) = x + 2 "
Me confundo y no se que es lo que pide exactamente.. ¿encontrar esos valores pero opuestos..?
3 Respuestas
No se eso a que se refiere con eso de los opuestos, pero si aplicás Ruffini (o cualquier otro método para dividir polinomios) tendrás que:
x^3-x^2+h-k = (x+2)( x^2-3x + 6+h) + (-12-2h-k)
Como debe dividirlo exacto, el resto debe ser cero, o sea
-12-2h-k = 0
k = -12-2h
Ahora veamos si podemos usar lo de los opuestos... si son opuestos, entonces tenemos que k = -h
-h = -12 - 2h
h = -12
Por lo tanto k = 12
Y el polinomio original era: x^3 - x^2 -12x - 12
Por el Teorema del Resto, si P(x) es divisible por x+2 ==> P(-2)=0
Además h=-k
$$\begin{align}&(-2)^3-(-2)^2+h(-2)+h=0\\&-8-4-2h+h=0\\&-12=h\\&k=12\\&P(x)=x^3-x^2-12x-12\end{align}$$Saludos
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¡Hola Cristian!
El teorema del resto dice que un polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x-a) si y solo si P(a) = 0
en este ejercicio el divisor es q(x) = x+2 = x -(-2) luego el a es a=-2
Calcularemos P(-2) y lo igalaremos a 0
p(x) = x^3 - x^2 + hx - k
p(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 - 2h - k = 0
-8 -4 -2h - k = 0
-2h - k = 12
Ah bueno, nos decían que h y k eran opuestos h=-k
2k - k =12
k=12
Por tanto los números pedidos son
h=-12
k=12
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.
Saludos.
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