Análisis Matemático: Prueba que la función f:[0,1] R definida mediante

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¡Hola Lawra!

¿Se puede usar el criterio de Lebesgue?

Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann

Sea f una función definida y acotada en [a,b] y sea D el conjunto de las discontinuidades de f en [a,b]. Entonces f (con el conjunto de las funciones Riemann integrables) en [a,b] si, y solo si, D tiene medida cero.

Ya que entonces la demostración se limitaria a demostrar que la función es continua en los irracionales, ya que los racionales tienen medida 0. Y sé que es cierto que la función es continua en los irracionales, aunque no me acuerdo cómo se hacía.

Saludos.

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Sea x0 un número irracional. Dado un épsilon>0 si es racional será de la foma

épsilon = r = p/q  con (p,q)=1

Y si épsilon no es racional, por ser los racionales densos en R existe un racional r=p/q con (p, q)=1 tal que

0 < r < épsilon

Los puntos de [0,1] donde f(x) >= 1/q  son finitos ya que serán el conjunto de puntos

C={1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4, ..., 1/q, 2/q, 3/q, (q-1)/q}

todo punto m/n con (m,n)=1 donde n>q tiene f(m/n) =1/n <1/q

Formamos el conjunto de las distancias de estos puntos (con f(x) "grande") a x0

D={|1-x0|, |1/2-x0|, ..., |(q-1)/q-x0|}

Es un conjunto finito y todos los elementos son mayores que 0, ya que x0 es irracional.

Entonces existe una distancia que es mínima y distinta de 0,

d=min D

Si tomamos como delta esa distancia mínima , tendrás que dentro del intervalo

0 <|x-x0| < delta

no hay ningún punto x tal que f(x) >=1/q luego f(x)<1/q

Vamos a ver ahora que tomando x en ese intervalo de radio delta de x0 se cumple |f(x)-f(x0)|<epsilon

Sea x tal que 0<|x-x0|< delta

Si x es irracional tendremos

|f(x)-f(x0)| = |0-0|=0 < epsilon

Si x es racional

|f(x) - f(x0)| = |f(x)-0|= |f(x)| < 1/q <= p/q <= epsilon

notese que hay una desigualdad estricta |f(x)|<1/q luego

|f(x)-f(x0)|<epsilon

Luego para los irracionales

lim x-->xo de f(x) = 0 = f(x0)

Y la función es continua en los irracionales.

En los racionales podríamos ver que la función es discontinua en todos pero no lo necesitamos comprobar. El conjunto de puntos de discontinuidad es a lo sumo los racionales y tiene medida 0 y por el criterio de Lebesgue f(x) es Riemann integrable.

Y eso es todo, no sé si lo habré explicado bien pero no es muy difícil, saludos.

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