Señale el número de raíces reales que tiene:

--

--

¡Hola Luis Alberto!

No olvdes que los exponentes se tienen que poner detrás del símbolo ^, estás confundiendo a todos los otros.

x^8 + x^40 =2x^48

Primero haremos un cambio de variable para trabajar más cómodamente.

y = x^8

con ello la ecuación queda

y + y^5 = 2y^6

Claramente tenemos la respuesta y=0 que equivale a x=0

Es una sola solución pero tiene multiplicidad 8

Luego, para calcular las otras dividimos por y

1 + y^4 = 2y^5

El lado izquierdo es siempre positivo, luego el derecho también debe serlo. Por lo tanto en el intervalo

(-Infinito, 0)

No puede haber ninguna solución

Se ve claramente la respuesta y=1 ya que

1+1^4 = 2·1^5

1+1 = 2

Luego tenemos la respuesta y=1 de la que salen 8 respuestas para la x que son sus raíces octavas. Las raíces octavas de 8 son

{1, -1, seis soluciones complejas}

Luego de momento ya llevamos tres soluciones reales {-1,0,1}

Nos queda examinar los intervalos

(0,1)  y (1, infinito)

recuerdo que la ecuación es

1 + y^4 = 2y^5

primero vemos que en (1,infinito) no puede haber respuestas

Si y>1  ==> 1<y^4<y^5

luego

1+y^4 < y^5+y^5

1+y^4 < 2y^5

Y queda por comprobar el intervalo (0,1) que es el más complicado y voy a tener que echar mano de la regla de los signos de Descartes. El polinomio asociado a la ecuación es

2y^5 - y^4 - 1

Solo tiene un cambio de signo de 2 a -1

Luego tiene como maximo una solución positiva que es la que ya hemos calculado y=1, luego no tiene otra en (0,1)

·

Pues ya está, tiene tres soluciones reales:

S={-1, 0, 1}

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. No olvides valorar las respuestas para que responda otras que tienes.

Saludos.

--

--