Indique el numero de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación:
(x - 5)5 + (x - 4)4 = 1
Te piden hallar el número de soluciones
3 Respuestas
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¡Hola Luis Alberto!
Sé que has querido poner exponentes 5 y 4 pero tienes que escribirlos bien para que se entienda, los exponentes tienen que ir precedidos del signo ^
(x - 5)^5 + (x - 4)^4 = 1
No sé lo que estarás estudiando, eso podría ser importante decirlo.
Vamos a ver si la regla de los signos de Descartes nos puede ayudar. Para ello primero pondremos el polinomio completamente desarrollado
(x-5)^5 + (x-4)^4 - 1=
x^5 - 25x^4 +250x^3 - 1250x^2 + 3125x - 3125 + x^4 - 16x^3 + 96x^2 - 256x +256 -1 =
x^5 - 24x^4 + 234x^3 - 1154x^2 + 2869x - 2870
Hay 5 cambios de signo, luego puede haber 5, 3 ó 1 raíces reales positivas
Si ponemos el polinomio en función de (-x) tendremos
(-x)^5 - 24(-x)^4 + 234(-x)^3 - 1154(-x)^2 + 2869(-x) - 2870=
-x^5 - 24x^4 - 234x^3 - 1154x^2 - 2869x - 2870
No hay ningún cambio de signo, luego no hay raíces negativas.
Luego el polinomio tendrá
a) 5 soluciones reales positivas
b) 3 reales positivas y un par de complejas conjugadas
c) 1 real positiva y dos pares de complejas conjugadas
Esto no ayuda mucho.
Sin embargo si tomamos el polinomio original
(x-5)^5 + (x-4)^4 - 1 = 0
vemos fácilmente que x=5 es una respuesta
(5-5)^5 + (5-4)^4 -1 = 0+1+1=0
Mediante la regla de Ruffini vamos a calcular la división por x-5
Nos da un polinomio con alternancia de signos y por lo tanto podrá tener 4, 2 ó 0 raíces positivas, no nos sirve de nada.
Otra cosa que podemos deducir es que 5 es la mayor raíz posible.
Ya que si x>=5 tendremos
(x-5)^5 >= 0
(x-4)^4 >= 1
(x-5)^5 + (x-4)^4 -1 >= 0+1-1 = 0
Luego sabiendo que las raíces reales son todas positivas y la mayor es 5 podríamos usar el truco de hacer la gráfica entre 0 y 5 y ver si hay otras raíces. Eso hago con Geogebra acortando mucho el eje Y para que pueda verse
Parece que no haya otra, por si quedan dudas se deja el eje Y a tamaño normal
No hay otro corte con el eje X.
Y se puede usar cualquier programa que halle raíces de polinomios, o la página de Wolfram Alpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-5%29^5%2B%28x-4%29^4-1%3D0
Y si pinchas el enlace verás que te da las 5 respuestas. La real y las 4 complejas
Luego por lo menos ten por seguro que solo hay una raíz real que es x=5
Ahora bien, si necesitas la resolución puramente teórica yo no puedo hacer más de lo que hice, ya ves qe no ha salido nada sencillo, necesitaría tener el libro o apuntes que estés estudiando.
Saludos.
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Más bien que pinchar en el enlace de Wolfram Alpha tendrás que copiarlo y pegarlo en la barra de direcciones del navegador, esta página tiene fallos con los enlaces a determinadas webs que no los hace clicables.
Es mucho más sencillo que todo esto que hice. A veces habría que mandar el contexto como el curso y asignatura para saber los medios que hay que emplear.
(x-5)^5 + (x-4)^4 = 1
Para simplificar las cuentas vamos a hacer primero este cambio de variable
y = x-5 o bien x=y+5
con ello queda la ecuación equivalente
(y+5-5)^5 + (y+5-4)^4 = 1
y^5 + (y+1)^4 = 1
Y ahora vamos a ver que solo puede tener la respuesta y=0
a) Si -infinito < y < -1 tendremos
y^5 negativo
(y+1)^4 positivo, pero en cualquier caso hay que tener en cuenta estas dos cosas
|y|> 1
|y| > |y+1|
tenemos que por ser |y|>1
|y|^5 > |y|^4
y por ser |y|>|y+1|
|y|^4 > |y+1|^5
encadenando las dos desigualdades llegamos a
|y|^5 > |y+1|^4
Por lo que el primer término y^5 qu es negativo es más negativo que lo que tiene de positivo es el segundo (y+1)^4
-y^5 > (y+1)^4
y^5 < -(y-1)^4
y^5 +(y-1)^4 < 0
por lo que no puede haber respuesta en (-intinito, -1)
·
b) -1<= y < 0
entonces
0 <= y+1 <=1
y tendremos estas dos cosas
-1 <= y^5 < 0
0 <=(y+1)^4 < 1
con lo cual
-1 <= y^5 + (y+1)^4 < 1
y por lo tanto no puede llegar al valor 1 y no hay respuesta
·
c)
y=0
No cabe duda, es la respuesta
0^5 +(0+1)^4 = 0+1 = 1
luego la respuesta es y=0 que equivale a x=0+5 = 5
·
d) 0 < y < infinito
entonces tenemos
0 < y^5
1 < y+1 ==> 1 < (y+1)^4
por lo cual
1 < y^5 + (y+1)^4
Y no puede haber respuesta.
·
Y esos son todos los casos posibles y la única respuesta que se ha dado es y=0 equivalente a x=5.
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Hola Luis!
Vamos a resolver la ecuación paso a paso:
(x−5)(5)+(x−4)(4)=1
Paso 1: Simplificar ambos lados de la ecuación.
Vamos a simplificar paso a paso:
(x−5)(5)+(x−4)(4)=1
(x)(5)+(−5)(5)+(x)(4)+(−4)(4)=1 (Distribuir)
5x+−25+4x+−16=1
(5x+4x)+(−25+−16)=1 (Combina los términos semejantes)
9x+−41=1
9x−41=1
Paso 2: Añadir 41 a ambos lados:
9x−41+41=1+41
9x=42
Paso 3: Divide ambos lados por 9:
9x / 9 = 42 / 9
x=14/3
Respuesta: 14/3
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