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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}& \end{align}$$--
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¡Hola José!
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No es de las más sencillas, debe resolverse por fracciones simples sabiendo como deben ser estas cuando una raíz está repetida.
$$\begin{align}&\frac{x^3+1}{x(x-1)^3}= \frac ax+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}+\frac{d}{(x-1)^3}=\\&\\&\frac{a(x-1)^3+bx(x-1)^2+cx(x-1)+dx}{x(x-1)^3}\\&\\&luego\\&\\&x^3+1 =a(x-1)^3+bx(x-1)^2+cx(x-1)+dx\\&\\&x^3+1=ax^3-3ax^2+3ax-a+bx^3-2bx^2+bx+cx^2-cx+dx\\&\\&x^3+1=(a+b)x^3+(-3a-2b+c)x^2+(3a+b-c+d)x-a\\&\\&-a=1\implies a =-1\\&\quad a+b=1\implies -1+b=1 \implies b=2\\&-3a-2b+c=0\implies 3-4+c=0\implies c=1\\&\quad 3a+b-c+d=0\implies-3+2-1+d=0\implies d=2\\&\\&\int \frac{x^3+1}{x(x-1)^3}=\\&\\&-\int \frac {dx}{x}+\int \frac{2\;dx}{x-1}+\int \frac{dx}{(x-1)^2}+\int \frac{2\;dx}{(x-1)^3}=\\&\\&-ln|x|+2ln|x-1|-\frac{1}{1-x}-\frac{1}{(x-1)^2}+C\\&\end{align}$$Y si el profesor quiere que la simplifiques hazlo, yo no lo haría.
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