Haciendo uso de Lagrange determinar el volumen máximo de una pirámide

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Como ya decía en la pregunta anterior.

Inscribir en una elipsoide, una pirámide de base paralela uno de los planos coordenados, de tal modo que el volumen sea máximo.

Hay que maximizar el volumen de una pirámide sujeto a que los puntos de la base estén sobre el elipsoide.

Pongamos que el plano de la base es paralelo al eje z

Dado un punto (x, y, z) los cuatro vértices son

(x, y, z) , (x,-y, z), (-x, y, z), (-x, -y, z)

y el área de la base es

Ab = 2x·2y = 4xy

Y el volumen es

V=(4/3)xy·(c-z)

Entonces el problema sería maximizar

V(x,y,z) = (4/3)xy(c-z)

ligado a la ecuación

phi(x,y,z) = (x^2/a^2) + (y^2/b^2) + (z^2/c^2) -1 = 0

Hay que tomar un multiplicador de Lagrange (lambda) y resolver este sistema de cuatro ecuaciones

$$\begin{align}&\frac{\partial V}{\partial x}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x}=0\\&\\&\frac{\partial V}{\partial y}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y}=0\\&\\&\frac{\partial V}{\partial z}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z}=0\\&\\&\varphi(x,y,z)=0\\&\\&\\&\frac{4}{3}y(c-z)+\lambda \frac{2x}{a^2}=0\implies\lambda=\frac{4a^2y(z-c)}{6x}\\&\\&\frac{4}{3}x(c-z)+\lambda \frac{2y}{b^2}=0\implies\lambda=\frac{4b^2x(z-c)}{6y}\\&\\&-\frac{4}{3}xy+\lambda \frac{2z}{c^2}=0\\&\\&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0\\&\\&\text {igualando }\lambda\text{ de la primera y segunda}\\&\\&\frac{4a^2y(z-c)}{6x}=\frac{4b^2x(z-c)}{6y}\implies\\&\\&\frac{a^2y}{x}=\frac{b^2x}{y}\implies \frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}\\&\\&\text{y también supuesto que vamos a tomar x positivo}\\&\\&x=\frac ab y\implies \frac yx=\frac ba\\&\\&\text{llevamos estos valores a lambda}\\&\\&\lambda =\frac{4a^2y(z-c)}{6x}=\frac{2ab(z-c)}{3}\\&\\&\text{ahora  a la tercera}\\&\\&-\frac{4}{3}xy+\lambda \frac{2z}{c^2}=0\\&\\&-\frac{4ay^2}{3b}+\frac{4abz(z-c)}{3c^2}=0\\&\\&-\frac {y^2}b+\frac{bz(z-c)}{c^2}=0\\&\\&\frac{y^2}{b}=\frac{bz(z-c)}{c^2}\\&\\&\frac{y^2}{b^2}=\frac{z(z-c)}{c^2}\\&\\&\text{y ahora a la cuarta, recordar que }\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}\\&\\&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0\\&\\&2 ·\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0\\&\\&2·\frac{z(z-c)}{c^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0\\&\\&2z(z-c)+z^2-c^2=0\\&\\&2z^2-2cz+z^2-c^2=0\\&\\&3z^2-2cz-c^2=0\\&\\&z=\frac{2c\pm \sqrt{4c^2+12c^2}}{6}=\frac{2c\pm4c}{6}\\&\\&z= c\;\;y\; -\frac c3\\&\end{align}$$

Y como ya habíamos hecho en la otra pregunta. 

La respuesta z=c no sirve ya que la altura es (c-z) y sería 0 y el volumen sería 0.

Luego la respuesta buena es

z=-c/3

y ahora se puede calcular el vértice (x,y,-c/3) de la base

$$\begin{align}&\frac{y^2}{b^2}=\frac{z(z-c)}{c^2}\\&\\&y=\frac{b}{c}\sqrt{z(z-c)}=\frac bc \sqrt{-\frac c3·\left(-\frac{4c}{3}\right)}=\frac{2b}{3}\\&\\&x=\frac ab y=\frac{2a}{3}\\&\\&\text{luego los puntos son}\\&\\&\text{Vértice superior: }(0,0,c)\\&\\&\text{Vértices de la base:}\\&\\&\left(-\frac{2a }{3},\frac{2b }{3},-\frac c3  \right)\qquad\left(\frac{2a }{3},\frac{2b }{3},-\frac c3  \right)\quad\\&\\&\left(-\frac{2a }{3},-\frac{2b }{3},-\frac c3  \right)\quad \left(\frac{2a }{3},-\frac{2b }{3},-\frac c3  \right)\\&\\&\text{Y el volumen es}\\&\\&V=\frac 43xy(c-z)=\frac 43·\frac{2a}{3}·\frac{2b}{3}\left(c-\left( -\frac c3 \right) \right)=\\&\\&\frac {16ab}{27}·\frac{4c}{3}=\frac{64}{81}abc\end{align}$$

Y lo importante es que el volumen no depende de la elección del vértice superior de la pirámide en (0.0,c) que hemos hecho, las tres constantes a,b,c desempeñan el mismo papel en la expresión del volumen.   Eso quiere decir que tanto si tomamos el vertice en (a,0,0) o en (0,b,0) obtendremos el mismo volumen y aunque la piramide tenga dimensiones distintas el volumen es el mismo.

Si no te fías puedes hacer las mismas cuentas que se hicieron aquí poniendo el vertice en esos otro dos lugares.

Y ya está.

La página se come cosas, al principio había un "¡Hola Karen!" y al final un "