Definir variables, plantear el sistema y resolver. Es de Análisis matemático
Un pez de la especie A consume por día 10 gramos deComida I y 5 gramos de comida II. Un pez de la especia B consume por día 6 gramos deComida I y 4 gramos de comida II. Si unMedio ambiente dado tiene 220 gramos de comida I y130 gramos de comida II disponibleDiariamente. ¿Qué tamaño de población consumirá tod ¿A la comida disponible? Definir variables, plantear el sistema y resolver
2 Respuestas
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Llamaremos
a = número de peces de la especie A
b = número de peces de la especie B
Se calcula la comida de cada clase que consumen cada día y se iguala a la que hya disponible diariamente
El consumo diario de comida I es
10a+6b gramos
y la disponible diariamente es 220g , luego
10a+6b = 220
El consumo diario de comida II es
5a+4b gramos
y hay 130g disponibles al día, luego
5a+4b = 130
Por lo tanto el sistema a resolver es
10a + 6b = 220
5a + 4b = 130
Lo resolveré por reducción, voy a multiplicar la segunda por -2 y luego las sumaré
10a + 6b = 220
-10a - 8b = -260
-----------------------
-2b = -40
b = -40/-2 = 20
Y ahora calcularemos a enla primera ecuación
10a + 6·20 = 220
10a + 120 = 220
10a = 100
a = 100/10 = 10
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Luego el tamaño de población que consume toda la comida es:
10 peces de la especie A y 20 de la especie B.
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Y eso es todo.
Lo he planteado como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Las incógnitas serían las poblaciones de peces. He llamado PA a la población de peces A y he llamado PB a la población de peces B.
La cantidad de alimento que se consume de cada clase en realidad son datos y los opero como si se tratara de números o coeficientes (que es lo que son en realidad).
"C1" expresa comida del tipo I. (expresado en gramos quedaría C1 gr).
"C2" expresa comida del tipo II (expresado en gramos quedaría C2 gr).
Planteo la primera ecuación de la siguiente forma:
" La cantidad de comida disponible del tipo I es igual a lo que consumen todos los individuos de la especie A más lo que consumen todos los individuos de la especie B"
$$\begin{align}&[1]\ 220\ gr\ C1=PA\ .\ 10\ gr\ C1+PB\ .\ 6\ gr\ C1\end{align}$$Planteo la segunda ecuación de la siguiente forma:
"La cantidad de comida disponible del tipo II es igual a lo que consumen todos los individuos de la especie A más lo que consumen todos los individuos de la especie B"
$$\begin{align}&[2]\ 130\ gr\ C2=PA\ .\ 5\ gr\ C2+PB\ .\ 4\ gr\ C2\end{align}$$Fíjate que parece que el sistema no se puede resolver porque las dos ecuaciones planteadas tienen distintas unidades y no se pueden agrupar terminos de la misma magnitud o unidad por que son diferentes en cada una de las ecuaciones.
Sin embargo yo puedo operar las unidades como si se trataran de números.
Si divido los dos miembros de [1] por C1 la igualdad se mantiene.
$$\begin{align}&[3]\ 220\ gr=PA\ .\ 10\ gr+PB\ .\ 6\ gr\end{align}$$Lo mismo ocurre si divido los dos miembros de la igualdad [2] por C2:
$$\begin{align}&[4]\ 130\ gr=PA\ .\ 5\ gr+PB\ .\ 4\ gr\end{align}$$Parece que hemos perdido la información del tipo de comida de que estamos hablando en cada ecuación, pero eso no nos afecta para resolver el sistema. Al fin y al cabo son dos ecuaciones linealmente independientes que es lo importante.
Y resolvemos por reducción por ejemplo:
Nota: multiplico la primera por "-1" y la segunda por "2" para que se anule la incógnita "PA"
$$\begin{align}&-1\ .\ (220gr=PA\ . 10gr+PB\ .\ 6gr)\\&+2\ .\ (130gr=PA\ .\ 5gr+PB\ .\ 4gr)\end{align}$$Y quedaría:
$$\begin{align}&260gr-220gr=2gr\ .\ PB\\&\frac{40gr}{2gr}=PB\\&PB=20\ individuos\end{align}$$Calculamos la población de la especie A sustituyendo en [1]
$$\begin{align}&220\ gr=10\ gr\ .\ PA+6\ gr\ PB\\&220\ gr=10\ gr\ .\ PA+6\ gr\ .\ 20\\&220\ gr-120\ gr=10\ gr\ .\ PA\\&\frac{100\ gr}{10\ gr}=PA\\&PA=10\ individuos\end{align}$$$$\begin{align}&\ \end{align}$$