Como es el procedimiento para realizar este problema

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Como la velocidad es la derivada de la posición y la aceleración es la derivada de la velocidad tendremos que la velocidad es la integral de la aceleración. Esta muy confusa la aceleración hay una "y" que supongo será una conjunción. Cuando la conjunción "y" puede causar confusión con las variables es mejor no ponerla, se pone una coma igual que en los elementos anteriores de la lista. Ya te fijarás a ver si he interpretado bien las componentes de la aceleración

$$\begin{align}&\vec v(t) = \int \left(2t\vec i+ (4t^2-2)\vec j-6\vec k\right)=\\&\\&(t^2+C_x)\vec i+\left(\frac 43t^3-2t +C_y \right)\vec j +(-6t+C_z)\vec k\\&\\&\text{Para t=0 es}\\&C_x\vec i +C_y \vec j+C_z\vec k = 2\vec i-4\vec j\\&\\&\text{Luego}\\&C_x=2,\quad C_y=-4,\quad C_z=0\\&\\&\vec v(t)=(t^2+2)\vec i+\left(\frac 43t^3-2t -4 \right)\vec j -6t\vec k\\&\\&\text {integramos de nuevo para obtener la posición}\\&\\&\vec r(t)=\left(\frac{t^3}{3}+2t+C_x  \right)\vec i+\left(\frac{t^4}{3}-t^2-4t+C_y  \right) \vec j -(3t^2+C_k)\vec k\\&\\&\text{Tal como la escribí la posición de 0 es}\\&C_x\vec i+C_y\vec j-C_z\vec k=10j-10k\\&luego\\&C_x=0,\quad C_y=10,\quad C_z=10\\&\\&\vec r(t)=\left(\frac{t^3}{3}+2t  \right)\vec i+\left(\frac{t^4}{3}-t^2-4t+10  \right) \vec j -(3t^2+10)\vec k\\&\\&\vec r(4) =\left(\frac{4^3}{3}+2·4  \right)\vec i+\left(\frac{4^4}{3}-4^2-4·4+10  \right) \vec j -(3·4^2+10)\vec k=\\&\\&\left(\frac{64}{3}+8  \right)\vec i+\left(\frac{256}{3}-16-16+10  \right) \vec j -(3·16+10)\vec k=\\&\\&\frac{68}{3}\vec i+\frac{190}{3}\vec j-58\vec k\end{align}$$

Todo ello en metros.

Si el profesor es de Física de esos que no pueden ver un número racional efectúas las divisiones y pones números decimales.

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Y eso es todo.