Interrogante con este problema de estimación
Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes de la Universidad Popular del Cesar (UPC) da una media de 175 centımetros y una desviación estándar de 7 centımetros.
a. Hallar una estimación puntual para la media poblacional. Interprete los resultados.
b. ¿Hallar una estimación para la varianza del promedio muestral? Interprete los resultados.
c. ¿Hallar un error de estimación para la media muestral? Interprete los resultados.
d. Estime el promedio poblacional de las estaturas de los estudiantes de la UPC, con una confianza del 95%. Interprete los resultados.
1 Respuesta
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a)
La estimación puntual para la media poblacional es la media muestral. ¿Cuál podría ser si no? Luego es 175 cm
La interpretación es lo que ya decía que la estimación de la media poblacional es la media muestral.
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b)
La estimación de la varianza del promedio muestral es la varianza muestral dividida por el número de elementos
$$\begin{align}&s^2_{\overline x}= \frac{s^2_{x}}{n}=\frac{7^2}{50}=\frac{49}{50}= 0.98\end{align}$$·
c)
El error de estimación de la media muestral es la desviación estandar de la variable promedio. Y eso es la raíz cuadrada de la varianza que hemos calculado en el apartado anterior
$$\begin{align}&SE_x=\frac{s_x}{\sqrt n}= \sqrt{\frac{s_x^2}{n}}= \sqrt{s_{\overline x}^2}=\\&\\&\sqrt{0.98} = 0.9899494937\end{align}$$·
d)
Esa estimación es el intervalo de confianza para la media. Podemos aprovechar el error estándar recien calculado ya que forma parte de la fórmula. El coeficiente de confianza (z sub alfa/2) para un nivel de confianza del 95% es el famoso 1.96
$$\begin{align}&I=\overline x\mp z_{\alpha /2}·\frac{s}{\sqrt n}=\overline x\mp z_{\alpha /2}·SE_x=\\&\\&175\pm1.96·0.9899494937=\\&\\&175\mp 1.940301\\&\\&I = [173.059699,\;176.940301]\end{align}$$Y esto quiere decir que el 95% de las estaturas están dentro de ese intervalo, solo hay un 5% de probabilidad de encontrar a un alumno con una estatura fuera de él.
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Y eso es todo.
