Determinar el valor de a para que un plano y una recta sean paralelos

HolaPeri!

La recta será paralela  al plano si el vector normal del plano x+y-2z=5

que es n=(1,1,-2)

es perpendicular al vector de dirección de la recta que es (3a,a+1,a+2)

Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar da cero:

n·d=0   (n y d son vectores)

(1,1,-2)(3a,a+1,a+2)=0

3a+(a+1)-2(a+2)=0

2a+1-4=0

a=3/2

Para encontrar la distancia de la recta al plano se puede hacer de varias maneras:

Una utilizando la fórmula que calcula la distancia de un punto a un plano

Cogiendo como punto uno cualquiera de la recta, por ejemplo R=(1,2,5)

$$\begin{align}&dist(P,plano)=\frac{|Ax_o+By_o+C*D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\\&\\&=\frac{|1·1+1·1-2·5-5|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac{|3-15|}{\sqrt 6}=\frac{12}{\sqrt 6}=2 \sqrt 6\end{align}$$

Otra manera es :

1º encontrar la recta (p) perpendicular al plano que pasa por un punto

De la recta R

2º encontar el punto P intersección de esa recta p y el plano

3º Buscar la distancia entre R y P, con el módulo del vector RP:

$$\begin{align}&R=(1,2,5)\\&p: (x,y,z)=(1+\lambda,2+\lambda,5-2\lambda)\\&Ecuación \ paramétrica \ de la \ recta \ p\\&El\ vector \ director  \ de \ la \ recta \ es \ el \ vector \ norma \\&l\ del \ plano \\&\vec{n}=(1,1,-2)\\&P=r \ intersección \  Plano\\&x+y-2z=5\\&(1+\lambda)+(2+\lambda)-2(5-2\lambda)=5\\&6 \lambda=12\\&\lambda=2 \Rightarrow P=(x,y,z)=(1+\lambda,2+\lambda,5-2\lambda)=(3,4,9)\\&\\&\vec{RP}=P-R=(3,4,9)-(1,2,5)=(2,2,4)\\&\\&distancia=|\vec{RP}|= \sqrt{2^2+2^2+4^2}=\sqrt{24}=2 \sqrt  6\\&\end{align}$$

·

En un plano el vector director es perpendicular al plano, mientras que en una recta el vector es paralelo a la recta. Ello quiere decir que para que el plano y l arecta sean parlelelos los vectores directores deben ser perpendiculares, luego su producto escalar debe ser 0

El vector director de un plano

Ax+By+Cz+D=0

es

(A, B, C)

luego en este caso y corrigiendo el plano que has puesto dos veces la x

x+y-2z=5

es

u=(1, 1, -2)

Y el de una recta dada en forma continua es el vector formado por los denominadores. Cuidado que las variables tengan signo positivo ya que si no hay que cambiárselo y cambia también el del denominador. En esto caso no sucede eso ya que x, y, z tienen signo positivo, luego el vector director de larecta es

v=(3a, a+1, a+2)

El producto escalar  u·v  igualado a 0 es

u·v = 1·3a + 1(a+1)-2(a+2) = 3a+a+1-2a-4 = 2a-3 = 0

2a = 3

a = 3/2

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Para obtener la distancia de un plano a una recta es necesario que sean paralelos, entonces es cuando sirve la fórmula de la distancia de un punto de la recta al plano porque todos los puntos están a la misma distancia, si no son paralelos habrá algún punto donde la distancia sea 0.

Y la fórmula de la distancia de un punto a un plano es

$$\begin{align}&P(x_0,y_0,z_0)\\&\\&\pi: Ax+By+Cz+D=0\\&\\&d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\&\\&\text{El punto de la recta se obtiene de los}\\&\text{numeradores cambiando los signos}\\&P(1,2,5)\\&\\&\text{El plano en la forma adecuada es}\\&\pi:\;x+y-2z-5=0\\&\\&\frac{|1·1+1·2-2·5-5|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac{|-12|}{\sqrt 6}=\\&\\&\frac{12 \sqrt 6}{6}=2 \sqrt 6\end{align}$$

Y eso es todo.