Como se resuelve este lìmite por la regla de L' Hopital:

Como ya te lo aclaró el profe Valero, la expresión que te dieron es una de las primeras definiciones que se da para el número de Euler (e).

Más allá de eso intentemos ver si conseguimos algo, "forzandonos" a usar L'Hopital

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x}=L\\&\mbox{suponiendo que exista L y sea finito, entonces}\\&ln (\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x})=ln(L)\\&Veamos\\& \lim_{x \to 0} ln((1+x)^{1/x})= \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}ln((1+x))=\lim_{x \to 0} \frac{ln((1+x)}{x}\\&\mbox{y ahora sí estamos en condiciones de aplicar L'Hopital pues estamos ante la indeterminación 0/0}\\&\lim_{x \to 0} \frac{ln((1+x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x}\frac{1}{1}\\&\mbox{la primer parte es la derivada de ln (1+x) y la otra la derivada de x (que es 1)}\\&\mbox{y ese límite, cuando x tiende a cero, tiende a 1}\\&\mbox{Pero, como dijimos en el primer paso, eso es el logaritmo de L, así que L es}\\&ln L = 1\\&L = e^1 = e \mbox{   (como ya sabíamos)}\end{align}$$

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La regla de l'Hôpital no es de aplicación en este caso. La regla de l'Hôpital sirve para resolver límites de tipo 0/0  ó infinito/infinito.  Con algunos arreglos sirva para límites 0·infinito. Pero este de aquí no se puede resolver con esa regla. Ese límite es famoso, la definición del número e es una de estas dos:

$$\begin{align}&e=\lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac 1n \right)^n\\&\\&e=\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac 1x}\\&\\&\text{son el mismo límite, se pasa de uno}\\&\text {a otro con el cambio de variable}\\&\\&n=\frac 1x  \quad ó\quad x=\frac 1n\end{align}$$

Luego el límite es el número e.

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Y eso es todo.