¿Cuál es el producto escalar de estos vectores y como calculo el angulo que forman?

El producto escalar de dos vectores se define como:

$$\begin{align}&\vec {u}·\vec {v}=|\vec{u}|·|\vec{v}|·\cos\alpha\\&y \ en \ componentes \ se \ calcula:\\&\\&\vec {u}·\vec {v}=(u_1,u_2,u_3)(v_1,v_2,v_3)=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\\&\\&\vec {u}·\vec {v}=(-2,0,1)(3,0,2)=-6+0+2=-4\\&\\&\cos \alpha=\frac{\vec {u}·\vec {v}}{|\vec{u}|·|\vec{v}|}=\frac{-4}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{-4}{\sqrt 5 \sqrt{13}}=-0,496139\\&\\&\alpha=arccos(-0,496139)=119,74 º\\&\end{align}$$

Respecto a la segunda pregunta, si lo que buscas es un vector que sea perpendicular a dos a la vez haz de calcular el producto vectorial

uxv=determinante|u,v|=

          i     j    k

 Det -2    0    1     =3j-(-4j)=7j=(0,7,0)

         3    0    2

Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar da 0

Si lo que buscas es un vector perpendicular a uno solo de ellos: hay infinitas soluciones : por ejemplo (1,0,2)

(1,0,2)(-2,0,1)=0

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La definción del producto escalar en R^n es la suma de los productos componente a componente:

a*b = (-2, 0, 1) * (3, 0, 2) = -2·3 + 0·0 + 1·2 = -6+0+2 = -4

Circunstancialmente se comprueba que eso es lo qmismo que

a*b = |a|·|b|·cos(alfa)

Lo cual nos sirve para calcular el ángulo de los vectores de esta forma

$$\begin{align}&\cos \alpha=\left|\frac{a*b}{|a|·|b|}\right|=\left|\frac{-4}{\sqrt{(-2)^2+0^2+1^2}·\sqrt{3^2+0^2+2^2}}\right|=\\&\\&\frac 4{\sqrt{5}\sqrt{13}}= \frac{4}{\sqrt{65}}\\&\\&\alpha=arcos \frac{4}{\sqrt{65}}= 60.2551187º\end{align}$$

Se da como ángulo siempre como ángulo entre dos vectores o rectas al menor de los que forman, por eso se toma el valor absoluto en la fórmula para el ángulo sea menor o igula que 90º

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b) Para obtener un vector perpendicular debes hacer el producto vectorial, el vector será único salvo multiplicación por una constante

$$\begin{vmatrix}i&j&k\\-2&0&1\\3&0&2\end{vmatrix}$$

(0·2-1·0)i - ((-2)·2-1·3)j +((-2)·0+0·3)k = 7j

Juego cualquier vector de la forma

(0, y, 0)  con y distinto de 0 es perpendicular a ambos.

Para dar un vector penpendicular solo a uno puedes dejar una componente a 0 y las otras dos intercambiarlas y a una de esas dos cambiarle el signo.

Por ejemplo tenemos estos perpendiculares (-2,0,1) entre los infinitos que hay.

(0, -1, 0)

(1, 0, 2)

(0, 2, 0)

Lo que facilita es dejar una componente a 0, lo otro si no te acuerdas como era es conseguir que el producto escalar sea 0.

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Y eso es todo.