Apoyo para dar ejemplos de los siguientes conjuntos:
Dar un ejemplo de un conjunto:
a) Abierto finito.
b) Cerrado infinito que no contenga ningún punto de acumulación.
c) Compacto.
1 respuesta
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a) Supongo que con abierto finito quieres decir un abierto que tenga un número finito de elementos, no un abierto de longitud finita.
Pues toma cualquier conjunto finito con la topología discreta, en la cual todos los subconjuntos son abiertos. Cualquier subconjunto de un conjunto finito o incluso el mismo es finito y por la topología que le hemos dado es abierto.
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b) Aquí vamos a dar un subconjunto de R, el de los números naturales. Es un cerrado porque contiene su clausura. Y no tiene ningún punto de acumulación. Para que un punto sea de acumulación cualquier abierto que lo contenga debe contener otro punto del conjunto distinto de él. Entonces si x no es natural hay un abierto de x que no contiene ningún natural. Y si x es natural tomando una bola de radio 1/2 no hay otro elemento natural salvo él mismo. Luego no tiene ningún punto de acumulación
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c) El intervalo [0, 1] de R es compacto, el círculo unidad también lo es. Y en cualquier espacio finito lo es cualquier subconjunto.
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Y eso es todo.
