No encuentro solución a Use la definición de continuidad para demostrar que la función dada es continua en el punto indicado
Use la definición de continuidad para demostrar que la función dada es continua en el punto indicado
$$\begin{align}&&f(x)= x^3-5x; x=2 \end{align}$$$$\begin{align}&&f(x)= (x-3) / (9x) ; x=3 \end{align}$$$$\begin{align}&&f(x)= 1/8; x=2\end{align}$$$$\begin{align}&&f(x)= 1/8; x=2\end{align}$$$$\begin{align}&&h(x) = x-4/x+4; x=4\end{align}$$$$\begin{align}&f(x)=3√ x, x=-1\end{align}$$He buscado pero no encuentro solución a mi problema, Además de haber puesto en practicas las 3 reglas pero no encuentro solución o como hacerlas o desarrollarlas, además de que llevo parado varios días sin poder solucionarlos,¿podría alguien ayudarme?
1 respuesta
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Este tipo de ejercicios al margen de que se pueden cosnsiderar más o menos fáciles lleva bastante trabajo pues el trabajo con el editor de fórmulas (que no es visual ni de pinchar) lleva mucho desgaste psiquico. Luego se resuelve uno solo en cada pregunta.
La definición de función continua en un punto es:
$$\begin{align}&f(x) \text{ continua en }x_0 \iff\\&\\&\forall \epsilon\gt 0\;\exists\; \delta \gt 0\;/\; \forall x\in Dom\,f,0\lt|x-x_0|\lt\delta\implies|f(x)-f(x_0)|\lt \epsilon\\&\\&\text{hacemos cuentas preliminares}\\&\\&|f(x)-f(2)|=|x^3-5x-(2^3-5·2)| =\\&\\&|x^3-5x-(8-10)|=|x^3-5x-(-2)| =\\&\\&|x^3-5x+2|= \\&\\&\text{lo factorizamos por Ruffini en hoja aparte}\\&\\&= |(x-2)(x^2+2x-1)| =\\&\\&|x-2|·|x^2+2x-1| \\&\\&\text{Para empezar tomaremos }\delta = 1\\&\text{despues lo refinaremos más poniéndolo}\\&\text{como una función de }\epsilon, \text{pero en ningún caso}\\&\text{será mayor que 1, porque lo que vamos}\\&\text{a hacer se cimenta en }\delta\le1\\&\\&\text {si } 0\lt|x-2|\lt \delta \quad y \quad \delta<=1\quad entonces\\&\\&|f(x)-f(2)| = |x-2|·|x^2+2x-1| <\\&\\&\delta|x^2+2x-1| \le\\&\\&\text {calculamos una cota para ese valor absoluto}\\&\text{en el entorno (1, 3) al que vienen obligados}\\&\text{los valores de x por ser }0\lt|x-2|<\delta\le1\\&\\&\text{El mínimo de }x^2+2x-1 \text{ está en }x=-1\\&\text{luego en (1, 3) es creciente. El módulo en 1 es }\\&|1+2-1|=2\\&\text{y el módulo en 3 es }|9+6-1|=15\\&\text{luego resumiendo, la desiguladad es}\\&\\&|f(x)-f(2)| \lt 15\delta \quad con \;0\lt \delta\le 1\\&\\&\text{Entonces si tomamos}\\&\\&\delta =min\left\{\frac \epsilon{15},1\right\}\\&\\&\text{tendremos}\\&\\&|f(x)-f(2)| \lt 15·\frac{\epsilon}{15}=\epsilon\\&\\&\text{luego f(x) es continua en x=2}\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, comprende el esfuerzo y valora la respuesta coo excelente. Luego manda si quieres el resto de ejercicios cada uno en su correspondiente pregunta.
¡Gracias! me sirvió bastante :D
NO recibirás ninguna respuesta más si no valoras esta como excelente. Menudo trabajo lleva como para arriesgarse a puntuaciones caprichosas menospreciantes.
