¿ Cuántos objetos compró? ¿Cuánto costó cada objeto?

n=nº objetos

x=€/objeto (precio de una unidad)

$$\begin{align}&n·x=450\\&(n+5)(x-3)=450\\&\\&nx-3n+5x-15=450\\&450-3n+5x-15=450\\&5x-3n=15\\&\\&n=\frac{450}{x}\\&5x-3(\frac{450}{x})=15\\&5x-\frac{1350}{x}=15\\& multiplicando \ por \ x:\\&5x^2-1350=15x\\&5x^2-15x-1350=0\\&Simplificándola \ por \ 5\\&x^2-3x-270=0\\&\\&x=\frac{3 \pm \sqrt{9+1080}}{2}=\frac{3 \pm 33}{2}=\\&x_1 =\frac{36}{2}=18 €/objeto\\&x_2=-15(NO)\\&n=\frac{450}{18}=25 \ objetos\end{align}$$

·

Una persona compró cierto número de objetos por 450 euros. Con ese mismo dinero, podría haber comprado 5 objetos más, si cada uno hubiese costado 3 euros menos. ¿Cuántos objetos compró? ¿Cuánto costó cada objeto?

Sea x el numero de objetos y sea y el precio. Las ecuaciones de lo que nos dicen son

xy=450

(x+5)(y-3) = 450

igualamos las dos ecuaciones

(x+5)(y-3) = xy

xy -3x +5y -15 = xy

-3x + 5y - 15 = 0

En la primera ecuación despejamos x

x=450/y

Y la llevamos aquí

-3·450/y + 5y - 15 = 0

multiplicamos todo por y

-1350 + 5y^2 - 15y = 0

simplificamos el 5

y^2 - 3y - 270 = 0

Y resolvemos esa ecuación:

$$\begin{align}&y= \frac{3\pm \sqrt{9+1080}}{2}=\frac{3\pm 33}{2}=\\&\\&18 \;y -15\end{align}$$

La respuesta negativa no nos sirve, luego y =18

Entonces

x=450/18 = 25

Luego compró 25 objetos a 18 euros cada uno.

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Y eso es todo.