¿Cómo puedo encontrar la siguiente trayectoria?

Siendo f '(t) = (t, e^t, t^2) y la trayectoria su integral, podemos integrar las tres funciones de t según:

Integral de t dt =/ t^2/2 / = t^2/2 - 0 = t^2/2

Integral de e^t dt =/ e^t / = e^t - (-5) = e^t + 5

Integral de t^2 dt =/ t^3/3/ =  t^3/3 - 1 

La trayetoria sería  f(t) = t^2/2  i + ( 5+e^t)  j  +    (t^3/3 - 1)   k

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La función integral de una función vectorial es la función vectorial formada por las integrales de las componentes, son integrales sencillas no voy a montar el tenderete de integración.

$$\begin{align}&f '(t) = (t, e^t , t^2)\\&\\&f(t) = \left(\frac{t^2}{2}+C_1,\;e^t+C_2,\;\frac{t^3}{3}+C_3  \right)\\&\\&\text{en t=0 valdrá}\\&\\&f(0)=(0+C_1,\;1+C_2,0+C_3)=(0,-5,1)\\&\\&\text{luego}\\&\\&C_1=0\\&1+C_2=-5 \implies C_2=-6\\&C_3=1\\&\\&Luego\\&\\&f(t) = \left(\frac{t^2}{2},\;e^t-6,\;\frac{t^3}{3}+1  \right)\end{align}$$

Y eso es todo.