¿Cómo se resuelve la siguiente integral?
Necesito la integral de:
(X^(1/2))/(x^(1/2)-3)
Espero puedan ayudarme
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Pedro!
·
$$\begin{align}&\int \left(\frac{\sqrt x}{\sqrt x -3}\right)dx=\\&\\&\int \left(1+\frac{3}{\sqrt{x}-3} \right)dx=\\&\\&x+\int \frac{3}{\sqrt{x}-3}dx\\&\\&t=\sqrt x-3 \implies \sqrt x=t+3\\&\\&dt=\frac{1}{2 \sqrt x}dx\implies dx=2 \sqrt x\;dt\implies\\&\\&dx =2(t+3)dt\\&\\&=x+3\int \frac{2(t+3)}{t}dt=\\&\\&x+6\int \left(1 +\frac{3}{t} \right)dt =\\&\\&x+6t + 18ln |t|+C=\\&\\&x+6(\sqrt x-3)+ 18 ln|\sqrt x -3|+C=\\&\\&x+6 \sqrt x -18+18 ln|\sqrt x-3|+C=\\&\\&x+6 \sqrt x+18ln|\sqrt x-3|+C\\&\end{align}$$Y eso es todo.
buenas respuestas, nada más tendría una pregunta ¿hay alguna forma de saber si debemos hacer el cambio de variable a t o a t^2 como en la integral anterior?
El cambio era el mismo, simplemente era otra forma de expresarlo. Yo usé t^2 porque su hubiera usado t tendría que haber derivada una raíz cuadrada y eso no me gustaba.
Era un cambio
t^2= f(x)
o t=sqrt(f(x))
Otra cosa hubiera sido un cambio
f=f(x) o t^2=f(x)
Ahí ya depende de cómo sea la integral
